Метод Монте-Карло

У попередніх пунктах подано декілька різних чисельних методів інтеграції, в яких використовувалися значення функції f(х) обчислені в рівновіддалених точках. Проте існує ще інший підхід, суть якого полягає в наступному. Уявимо собі прямокутник висотою (d-c) і довжиною (b-a) такий, що функція f(x) цілком лежить усередині даного прямокутника (рис. 7.4).

Рис. 7.4 – Метод Монте-Карло

Згенеруємо N пар випадкових чисел, рівномірно розподілених в даному прямокутнику:

Тоді частина точок ,що задовольняють умові , є оцінкою відношення інтеграла від функції f(x) до площі даного прямокутника. Отже оцінка інтеграла в даному методі може бути отримана за формулою:

(7.10)

де — число точок, що задовольняють умові — повна кількість точок; А — площа прямокутника.

Можна запропонувати ще інший шлях обчислення визначеного інтеграла, розглядаючи його як середнє значення функції f(x) на відрізку [а, b]:

(7.11)

де хi послідовність випадкових чисел з рівномірним законом розподілу на відрізку [а, b].

Похибка методу Монте-Карло міняється як О( ).

Завдання: За допомогою методу Монте-Карло обчислити визначений інтеграл

Розв’язання. За допомогою VBA створимо дві функції MK1 і Мк2

Тут використовується функція RND(1), що генерує випадкові числа в інтервалі [0; 1].

Результат використання функцій в MS Excel показаний на рис. 7.5:

Рис. 7.5– Результати обчислень за методом Монте-Карло

Завдання: Обчислити визначений інтеграл , використовуючи метод Монте-Карло.

Розв’язання:

Таким чином

Контрольні питання для самоперевірки

1. В якому випадку використовується чисельна інтеграція?

2. Постановка задачі чисельної інтеграції.

3. Які існують чисельні методи інтеграції функції?

4. Графічна інтерпретація методу прямокутників.

5. Як оцінити похибку методу прямокутників?

6. Графічна інтерпретація методу трапецій.

7. Як оцінити похибку методу трапецій?

8. Графічна інтерпретація методу Сімпсона.

9. Як оцінити похибку методу Сімпсона?

10.Чим відрізняються формули методу трапецій і методу Сімпсона?

11.Як впливає на точність чисельної інтеграції величина кроку h ?

12.Чим відрізняється обчислення похибку методу трапецій і Сімпсона?

13.Основна ідея методу Монте-Карло.

14.Графічна інтерпретація методу Монте-Карло.

15. Як отримати чисельне розв’язання за допомогою MS Excel і VBA?

Завдання

Опрацювати вказівки до практичного заняття. Виконати індивідуальне завдання у зошиті. Застосувати для виконання інструментальні пакети та скласти власну програму мовою програмування.