Похибки округлення

У тих випадках, коли наближене число містить зайву кількість невірних значущих цифр, удаються до округлення.

При округленні використовують наступне правило округлення. Якщо в старшому з розрядів, що відкидаються, стоїть цифра менша п'яти, то вміст розрядів, що зберігаються, не міняється. У противному випадку, в молодший розряд, що зберігається, додається одиниця.

Очевидно, що абсолютна похибка округлення не перевершує половини одиниці молодшого розряду, що залишається.

При округленні наближеного числа його абсолютна похибка збільшується з урахуванням похибки округлення.

Зразок виконання завдання

Завдання: 1) Визначити, яка рівність точніша: чи .

2) Округлити сумнівні цифри, залишивши вірні знаки: а) числа 72.353 0.026 у вузькому розумінні; б) числа 2.3544; у широкому розумінні;

3) Знайти граничні абсолютні та відносні похибки чисел: а) 0.4357; б) 12.384, якщо вони мають лише вірні цифри: а) у вузькому розумінні; б) у широкому розумінні.

Розв’язання:

1) Знаходимо значення даних виразів з великим числом десяткових знаків: а₁= а₂= . Потім вираховуємо граничні абсолютні похибки, округляючи їх із залишком:

, .

Граничні відносні похибки складають

Так як , то рівність є більш точною.

2) Нехай 72,353 ( 0,026)=а. Згідно умови, похибка ; це значить, що в числі 72,353 вірні у вузькому смислі являються цифри 7, 2, 3. За правилами округлення знайдемо наближене значення числа, зберігши десяткові долі:

; =0,026+0,047=0,073

Отримана похибка більше 0,05, тобто треба зменшити число цифр у наближеного числа до двох:

а₂=72; =0,026+0,353=0,379.

Так як <0,5, то останні дві цифри вірні у вузькому смислі.

б) Нехай а=2,3544; ; тоді В даному числі вірними у широкому смислі являються три цифри, тому округлюємо його, залишаючи ці три цифри:

а₁=2,35;

Значить, що і в округленому числі 2,35 всі три цифри вірні в широкому смислі.

3) а) Так як всі чотири числа а=0,4357 вірні у вузькому смислі, то абсолютна похибка , а відносна похибка .

б) Так як всі п’ять цифр числа а=12,384 вірні у широкому розумінні, то ;

Завдання.

1) Визначити, яка рівність точніша;

2) Округлити сумнівні цифри числа, залишивши вірні знаки: а) у вузькому розумінні; б) у широкому розумінні;

3) Знайти граничні абсолютні та відносні похибки чисел, якщо вони мають лише вірні цифри: а) у вузькому розумінні; б) у широкому розумінні.

Індивідуальні завдання

№1 1) ; №2 1) ;

2) а) 22,553 ( 0,016); 2) а) 17,2834; .

б) 2,8546; . б) 6,4257 ( ).

3) а) 0,2387; б) 42,884. 3) а) 3,751; б).0,537.

№3 1) ; . №4 1) ; .

2) а) 34,834; ; 2) а) 2,3485 ( );

б) 0,5748 ( 0,0034). б) 0,34484 .

3) а) 11,445; б) 2,043. 3) а) 2,3445 б) 0,745.

№5 1) ; . №6 1) ; .

2) а) 5,435 ( 0,0028); 2) а) 23,574; ;

б) 10,8441; . б) 8,3445 ( 0,0022).

3) а) 8,345; б) 0,288. 3) а) 12,45; б) 3,4453

№7 1) ; . №8 1) ; .

2) а) 2,4543 ( 0,0032); 2) а) 23,574; ;

б) 24,5643; . б) 8,3445 ( 0,0022).

3) а) 0,374; б) 4,348. 3) а) 20,43; б) 0,576.

№9 1) ; . №10 1) ; .

2) а) 21,68563; ; 2) а) 13,537 ( 0,0026);

б) 3,7834 ( 0,0041). б) 7,521; .

3) а) 41,72; б) 0,678. 3) а) 5,634; б) 0,0748.

№11 1) ; . №12 1) ; .

2) а) 0,3567; ; 2) а) 1,784 ( 0,0063);

б) 13,6253 ( 0,0021). б) 0,85637; .

3) а) 18,357; б) 2,16. 3) а) 0,5746; б) 236,58.

№13 1) ; . №14 1) ; .

2) а) 3,6878 ( 0,0013); 2) а) 27,1548 ( 0,0016);

б) 15,873; . б) 0,3945; .

3) а) 14,862; б) 8,73. 3) а) 0,3648; б) 21,7.

№15 1) ; . №16 1) ; .

2) а) 0,8647 ( 0,0013); 2) а) 3,7542 ;

б) 24,3618; . б) 0,98351; ( 0,00042).

3) а) 2,4516; б) 0,863. 3) а) 62,74; б) 0,389.

№17 1) ; . №18 1) ; .

2) а) 83,736 ; 2) а) 2,8867 ;

б) 5,6483; ( 0,0017). б) 32,7486; ( 0,0012).

3) а) 5,6432; б) 0,00858. 3) а) 0,0384; б) 63,745.

№19 1) ; . №20 1) ; .

2) а) 4,88445 ( 0,00052); 2) а) 38,4258 ( 0,0014);

б) 0,096835; . б) 0,66385; .

3) а) 12,688; б) 4,636. 3) а) 6,743; б) 0,543.

№21 1) ; . №22 1) ; .

2) а) 0,39642; ( 0,00022); 2) а) 5,8425 ;

б) 46,453 . б) 0,66385; ( 0,00042).

3) а) 15,644; б) 6,125. 3) а) 0,3825; б) 0,246.

№23 1) ; . №24 1) ; .

2) а) 24,3872 ; 2) а) 2,3684 ( 0,0017);

б) 0,75244; ( 0,00013). б) 45,7832; .

3) а) 16,383; б) 5,734. 3) а) 0,573; б) 3,6761.

№25 1) ; . №26 1) ; .

2) а) 72,354 ; 2) а) 0,36127 ( 0,00034);

б) 0,38725; ( 0,00112). б) 46,7843; .

3) а) 18,275; б) 0,00644. 3) а) 3,425; б) 0,645.

№27 1) ; . №28 1) ; .

2) а) 23,7564 ; 2) а) 15,8372 ( 0,0026);

б) 4,57633; ( 0,00042). б) 0,088748; .

3) а) 3,75; б) 6,8343. 3) а) 3,643; б) 72,385.

№29 1) ; . №30 1) ; .

2) а) 3,87683 ; 2) а) 0,66835 ( 0,00115);

б) 13,5726; ( 0,0072). б) 23,3748; .

3) а) 26,3; б) 4,8556. 3) а) 43,813; б) 0,645.