Двуполостной гипрболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная уравнением
(57)
Рассмотрим сечения горизонтальными плоскостями , где . В сечениях образуются линии
(1)
Так как при любых значениях и , то при первое уравнение не выполняется ни при каких и . Следовательно, плоскости , где , не пересекают данную поверхность.
Если
,
то
.
Следовательно, в сечениях плоскостями
и
образуется пара точек с координатами
и
.
Если
,
то
.
Следовательно, первое уравнение из (1)
можно записать в форме
,
где
. (2)
Уравнение
(2) является уравнением эллипса с полуосями
и
.
Заметим, что при увеличении
от значения
до бесконечночти полуоси эллипса
и
так же неограниченно увеличиваются.
Итак, при
плоскости
не пересекают поверхность, при
в сечениях образуются точки, при
в сечениях образуются эллипсы.
Пусть , где . Тогда в сечениях образуются линии
(1)
Следовательно, на плоскости при любых значениях , образуется гипербола
,
где
, (2)
с действительной полуосью и мнимой - , оринтированная вдоль оси .
Рис.35
В сечениях вертикальными плоскостями , где , также образуются гиперболы, ориентированные вдоль оси (исследовать самостоятельно).
Итак, в сечениях
вертикальными плоскостями
и
при любых значениях
образуются гиперболы, в сечениях
горизонтальными плоскостями
при
образуются либо точки, либо эллипсы
(рис.35).
В заключении отметим, что уравнения (52)-(57) яляются частными случаями алгебраического уравнения (51). Следовательно, рассмотренные поверхности являются разновидностями поверхностей второго пордка.