Структурные средние.

Вторая категория средних – это структурные средние: мода и медиана.

Мода (Мо) представляет собой значение изучаемого признака, повторяющегося с наибольшей частотой.

Медианой (Ме) называется значение признака, приходящегося на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Рассмотрим пример определения моды и медианы по не сгруппированным данным. Предположим, рабочие бригады, состоящей из 9 человек, имеют следующие тарифные разряды: 4, 3, 4, 5, 3,3, 6, 2,6. Так, как в данной бригаде больше всего рабочих 3 – го разряда, то этот тарифный разряд и будет модальным. Для определения медианы необходимо провести ранжирование: 2, 3,3,3,4,4,5,6,6.

Центральным в этом ряду является рабочий 4 – го разряда, следовательно, он и будет медианным.

Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.

Расчет моды и медианы для интервальных вариационных рядов производится по формулам

Рассмотрим приме расчета моды и медианы, используя исходные данные, приведенные в таблице

Алгоритм расчета моды.

1. Определяем модельный интервал, это 400-600 тыс. руб.

2. Определяем нижнюю границу модельного интервала , она равна 400тыс. руб.

3. Определяем величину модельного интервала i, она равна 200 тыс. руб.

4. По зависимости ( 11 ) рассчитываем моду

Мо = 400 + 200 (( 30, 6 – 29,6)/ (30,6 –29,6) +( 30,6 –25,1)) = 430,8 тыс. руб.

Алгоритм расчета медианы.

1. Определяем медианный интервал, для чего рассчитываем накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит половину суммы накопленных частот ( для рассматриваемого примера это 147,5/ 2 = 73,75). Результаты расчета сводим в таблицу

Тогда медианный интервал равен 600- 800 тыс. рубл.

2. Определяем нижнюю границу медианного интервала х0, она равна 600тыс. руб.

3. Определяем величину медианного интервала i , она равна 200руб.

4. По зависимости (12) рассчитываем медиану

Ме = 600 + 200(( 73,75 – 60, 2)/25,1)) = 708,0 тыс. руб.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической имеет важное прикладное значение, так как позволяет оценить асимметрию распределения признака в совокупности. В симметричных распределениях все три характеристики совпадают. Чем больше расхождение между модой с средней арифметической, тем больше асимметричен ряд.

§ 12. Показатели вариации

12.1. Абсолютные показатели вариации

К абсолютным показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации – показатель, определяющий насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими наибольшее и наименьшее значение признака. Зависимость для его расчета имеет вид

R= х_max – х_min . (13)

Среднее линейное отклонение - показатель, отражающий типичный размер признака. Расчетная зависимость для его определения имеет вид

а) простое среднее линейное отклонение для не сгруппированных данных

где n – число наблюдений признака.

б) взвешенное среднее линейное отклонение для интервального вариационного ряда

- середины интервалов.

Дисперсия - средняя величина квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

Зависимости для расчета дисперсии имеют вид:

а) простая дисперсия для не сгруппированных данных

б) взвешенная дисперсия для интервального вариационного ряда

Свойства дисперсии.

0. Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии не изменяет.

1. Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменяет.

2. Уменьшение или увеличение каждого значения признака в k раз соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в раз, а среднее квадратическое отклонение - в k раз.

3. Дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней. .

Среднеквадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии.

(18)

Среднеквадратическое отклонение выражается в тех же единицах измерения, что и значение признака.