3. Оптимальный раскрой лент или листов на круглые заготовки

3.1. Постановка задачи

Раскрой листового материала на круглые заготовки связан с большими потерями металла, зависящими от особенностей расположения круглых объектов на плоскости.

Коэффициент использования металла при раскрое круглых заготовок определяется как отношение площади заготовок к площади листа или полосы, из которых заготовки будут вырубаться:

,

где - площадь круглых заготовок;

- площадь листа или полосы.

3.2. Математическое обеспечение

Рассмотрим однорядный раскрой круглых заготовок из полосы (рис. 3.1.).

Рис. 3.1. Однородный раскрой ленты на круглые заготовки

Коэффициент использования металла для такого раскроя будет равен

,

а без учета перемычек

,

где D диаметр окружности или величина стороны описываемого вокруг круга квадрата.

В реальных условиях КИМ становится еще меньшим из-за наличия штамповочных перемычек и боковых кромок.

Наиболее экономичным является «сотовый» или «шахматный» раскрой листа, при котором круглые заготовки расположены в вершинах равностороннего треугольника (рис. 3.2.).

Рис. 3.2. «Сотовый» раскрой металла

Рассмотрим равносторонний треугольник авс, в вершинах которого расположены заготовки диаметром D. Площадь треугольника авс находится так:

.

В этом треугольнике расположено три сектора с центральными углами 60°, следовательно, сумма центральных углов 180°, т.е. помещается половина окружности. Площадь сектора

.

Коэффициент использования металла

;

.

Из этого следует, что даже в идеальном случае (без учёта отходов на перемычки) КИМ не может быть более 90,7%. В реальных условиях производства он значительно ниже.

Часто на производстве применяется многорядный раскрой (рис. 3.3.). Достоинствами этого раскроя является высокая технологичность, особенно при штамповке на прессах с автоматическими подачами, а также высокая эффективность. Можно показать, что КИМ для этого раскроя зависит от числа рядов раскроя.

Рассмотрим прямоугольник АВСD. В этом прямоугольнике сторона АВ равна шагу штамповки и определяется следующим образом:

.

Величина АD, равная ширине ленты, зависит от n и определяется так:

.

Площадь прямоугольника АВСD равна

.

В этом прямоугольнике, как видно из рисунка, заключено 2n-1 заготовок.

Суммарная площадь заготовок, заключённых в прямоугольнике, равна

.

КИМ по раскрою определяется как отношение площади окружностей к площади прямоугольника:

,

Как видно из формулы, быстрый рост КИМ наблюдается только при увеличении числа рядов до 8...10.

На практике редко используют раскрой с числом n > 5. Но и с таким ограничением многорядный раскрой представляет большие возможности для выбора оптимальных вариантов.

Рис. 3.3. Многорядный раскрой ленты на круглые заготовки

3.3. Математическое обеспечение

Широкие возможности дает метод совместного раскроя листа на полосы с различной рядностью В настоящее время штамповка круглых в плане деталей в большинстве случаев производится из полосы, причем технология изготовления позволяет производить штамповку в два ряда с поворотом полосы.

Допустим, лист размерами А х В необходимо раскроить на два типоразмера полос (см. рис. 3.4). Лист режется вдоль короткой стороны. Из одного типоразмера полос осуществляется однорядная штамповка, а из другого - двухрядная штамповка (рис. 3.4.)

Рис. 3.4. Комбинированный раскрой листа на круглые заготовки

При однорядном раскрое в полосу вмещается n₁ деталей.

где d – диаметр заготовки;

 - величина перемычки

Ширина полосы h₁ определяется как

,

где  - величина боковой перемычки.

При двухрядном раскрое в полосу вмещается n₂ деталей.

Ширина полосы определяется так:

Зная ширину полос и количество получающихся из них заготовок, можно найти такое соотношение между типоразмерами полос, при котором количество заготовок из листа будет максимальным.

Пусть N₁ и N₂ – число полос с однорядным и двухрядным раскроем, которые необходимо отрезать от листа.

Математически это выражается следующим образом.

Найти неизвестные N₁ и N₂:

Критерием оптимальности является максимальное количество заготовок из листа.

Введём величины i и j:

где  - целая часть листа.

Определим сумму

.

Перебором i и j находится максимальное значение Е_max. Соответствующие значения i и j будут искомыми N₁ и N₂.

Полученный таким образом раскрой листа позволяет заметно снизить отходы при штамповке.

Для крупногабаритных заготовок шахматный раскрой труднореализуем из-за ограничений технологического характера. Наиболее приемлемым для данных заготовок является «косой» раскрой листа.

Рассмотрим лист размером А х В (см. рис. 3.5.).

Предположим, что диаметр заготовки d таков, что заготовки целиком не умещаются по ширине листа.

В наклонно расположенную полосу укладывается целое число кругов m. Угол наклона  полосы

.

Учитывая, что

,

Рис. 3.5. «Косой» раскрой листа на круглые заготовки

Если учесть, что m – целое, то минимальное m равно

,

где  - целая часть числа.

Наибольший угол  для минимального числа кругов, полностью вмещающихся в полосу, определяется по формуле

.

Обозначим расстояние между центрами соседних кругов С:

.

Определим количество кругов, вмещающихся на i-том уровне, если известно положение центра О на оси Х.

Вправо от круга с центром в точке О

,

где х₀ – координата точки О;

r – радиус круга.

Влево от точки О

.

Таким образом, на любом уровне вмещается К кругов:

.

Как видно, количество кругов, вмещающихся в полосу, зависит от х₀.

Пусть на i-том уровне круг касается боковой стороны листа.

Для i-того уровня r = х₀.

.

При переходе на более низкий уровень круги будут смещаться вдоль оси Х на величину С₁:

.

Следовательно на i-j уровне количество кругов будет

.

При переходе на более высокие уровни круги сдвигаются на величину

,

и количество кругов на более высоком уровне

.

Общее количество кругов, вмещающихся в лист, определяется как сумма кругов на каждом уровне:

.

Для нахождения оптимального раскроя необходимо перебрать варианты раскроя при i = 0…m и из них выбрать полученный K_max. Соответствующее этому K_max значение i показывает, какой круг касается стороны А.