3.3. Завдання

За вихідними даними, які визначають матрицю технологічних коефіцієнтів , матрицю запасів сировини та матрицю питомого прибутку , знайти умовні ціни, при перевищенні яких стає більш вигідним продати сировину, ніж виробляти з неї продукцію, та дослідити стійкість розв’язку. Визначити оптимальний план використання сировини та дослідити його стійкість. Розв’язання задачі здійснювати у MS Excel за допомогою надбудови «Поиск решения».

3.4. Приклад виконання лабораторної роботи № 3

Вихідна задача щодо оптимального використання сировини має такі значення параметрів:

;	;
	.

Формалізація задачі. За даними вихідної задачі укладемо математичну модель двоїстої. Оскільки цільова функція вихідної задачі досліджується на максимум, то цільова функція двоїстої задачі, коефіцієнтами якої є кількість запасів сировини кожного виду, повинна досліджуватись на мінімум:

(3.2^І)

Відповідно до виду екстремуму цільової функції нерівності основної системи обмежень повинні мати знак . За кожним стовпцем вихідної матриці технологічних коефіцієнтів складаємо нерівність щодо загальної ціни на сировину, що входить до складу певної продукції. Для цього транспонуємо вихідну матрицю технологічних коефіцієнтів і у правій частині нерівностей вказуємо ціни на готову продукцію.

Отже, отримуємо:

(3.3^І)

Оскільки спряжені задачі є симетричними, то змінні двоїстої задачі мають обмеження на знак:

(3.4^І)

Співвідношення (3.2^І) – (3.4^І) утворюють математичну модель двоїстої задачі.

Отже, виходячи з принципів побудови математичної моделі двоїстої задачі було отримано ті ж самі співвідношення, що і відповідно тлумаченню задачі, двоїстої до задачі про оптимальне використання сировини. До речі, якщо здійснювати її розв’язання за допомогою симплекс-методу, то знадобиться вводити фіктивну змінну, тобто це розширена М-задача. Для визначення її розв’язку застосуємо надбудову «Поиск решения» MS Excel.

Для розв’язання задачі застосуємо наступний алгоритм.

1. На чистому аркуші книги MS Excel утворюємо таблицю, що містить вихідні дані і де будемо здійснювати обчислення (табл. 3.1). Так, впливові комірки $B$3:$D$3 містять вихідні значення тіньових цін, які є керованими змінними даної задачі. Їх значення зручно прийняти рівними одиниці. Значення цільової функції ми отримуємо в комірці E4 як суму добутків тіньових цін кожного з типів сировини, що вміщені в комірках $B$3:$D$3, на кількість сировини відповідного типу, що наведені в комірках $B$4:$D$4. За допомогою вбудованої функції значення цільової комірки E4 визначається за формулою: =СУММПРОИЗВ(В3:D3; В4:D4). Комірки $B$6:$D$9 містять елементи матриці технологічних коефіцієнтів, а значення кожної з комірок $E$6:$E$9 дорівнює вартості запасу відповідного типу сировини, що визначається в умовних цінах. Так, для комірки E6 вона обчислюється за формулою: =СУММПРОИЗВ(В3:D3; В6:D6). У комірках $G$6:$G$9 вміщено граничні значення умовної вартості (праві частини основної системи обмежень), а у стовпчику F наведено знаки нерівностей основної системи обмежень. У комірках H6:H9 обчислюємо різницю між значеннями кожної з комірок E6:E9 та значеннями у відповідних їм комірках G6:G9. Так, для обчислення значення комірки H6 до неї вводимо формулу: =E6-G6. Значення інших комірок отримуємо, «розтягнувши» цю формулу на комірки H7, H8 та H9.

Таблиця 3.1