3. Задача нелинейного программирования

3.1. Постановка задачи

Пример. Рассмотрим поведение фирмы в долгосрочном периоде, когда все используемые факторы являются переменными. Здесь предприятие сталкивается с проблемой выбора факторов, обеспечивающих достижение некоторого заданного объема производства с минимальными затратами.

Будем считать, что для производства продукта в объеме Y₀ используются два фактора труд L и капитал K, связанные с выпуском производственной функцией и нанятые (или арендованные) на конкурентных рынках по фиксированным ценам. Цена труда равна номинальной ставке заработной платы W, а цена капитала – арендной плате за оборудование R. Предполагаем также, что факторы производства K и L характеризуются предельным продуктом капитала g=F(K,L)/K>0 и предельным продуктом труда v=F(K,L)/L>0. Тогда проблема оптимального выбора факторов сводится к задаче минимизации совокупных затрат

C=WL+RKmin

при ограничении на объем выпуска Y₀

F(K,L)= Y₀

и условии положительных переменных K>0, L>0, что следует из свойства производственной функции.

Данная задача представляет собой задачу нелинейного программирования

C=WL+RKmin,

F(K,L)= Y₀,

K>0, L>0.

В общем случае в задачах нелинейного программирования допустимое множество представляет собой множество решений систем алгебраических уравнений и неравенств (ограничения – равенства, ограничения - неравенства):

, (1)

(2)

Ограничений на m здесь нет. Хотя бы одно из ограничений имеет вид неравенства. Хотя бы одна из функций – нелинейная.

В векторной форме задача нелинейного программирования принимает вид:

. ()

Определение 1

Ограничения вида

или

называются функциональными ограничениями.

Ограничения вида

называются прямыми ограничениями.

Определение 2

Ограничение - неравенство

будем называть активным (эффективным) в точке , если

.

В противном случае ограничение будем называть неактивным (неэффективным)

3.2. Необходимые условия локального минимума

(условия Куна-Таккера)

Условия Куна – Таккера:

()

Выводы:

Замечание 1. Если ограничение – неравенство имеет вид , то его необходимо вводить в функцию Лагранжа в форме

Замечание 2. Если выпуклая целевая функция определена на выпуклом допустимом множестве , то необходимые условия оптимальности Куна – Таккера являются одновременно и достаточными.

Решим сформулированную выше задачу нелинейного программирования

C=WL+RKmin,

F(K,L)= Y₀,

K>0, L>0.

Д ля решения задачи воспользуемся необходимыми условиями оптимальности Куна - Таккера, записанными в терминах функции Лагранжа. Функция Лагранжа в данном случае принимает вид

(20)

где  - множитель Лагранжа. Определяя частные производные этой функции по K, L и  и приравнивая полученные выражения к нулю, получим необходимые условия минимума для положительных объемов факторов K>0, L>0

( 21)

Решение данной системы K, L находится для конкретного вида производственной функции. Вместе с тем можно сформулировать правило, согласно которому выбор факторов считается оптимальным, т.е. минимизирующим издержки. Определим множитель Лагранжа из первых двух соотношений (21), обозначая предельные продукты через g и v

( 22)

Предположим, что выпуск увеличился на одну единицу. Так как предельный продукт капитала g=Y/K показывает дополнительный объем выпуска, получаемый при использовании дополнительной единицы капитала, то 1/g=K/Y измеряет дополнительный капитал, необходимый для производства единицы продукта. Следовательно, величина R/g соответствует дополнительным затратам на производство единицы продукции за счет увеличения капитала, т.е. предельным затратам производства относительно переменного фактора K. Аналогично величина W/v показывает предельные затраты производства относительно переменного фактора L.

Таким образом, фирма минимизирует производственные затраты при выпуске продукции, если она выбирает такое сочетание факторов, при котором предельные затраты относительно этих факторов равны (22) или соблюдается равенство предельных продуктов факторов, отнесенных к цене соответствующего фактора

g/ R=v/W.