Остаточный член

Остаточный член R может быть легко выражен в терминах  :

или эквивалентным образом, получаемым интегрированием по частям, предполагая, что   дифференцируема еще раз, и вспоминая, что нечетные числа Бернулли равны нулю:

где  . Можно показать, что

где   обозначает дзета-функцию Римана. Равенство достигается для четных n и  . С помощью этого неравенства остаточный член оценивается как

50. Разложить по формуле Маклорена функции .

51. Что такое остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа?

Пусть  ,   непрерывна на отрезке  ,   на интервале  . Тогда справедлива формула (1), в которой

где  .

Доказательство: будем проводить по индукции, считая  . При   теорема утверждает, что при некотором 

Это утверждение верно, так как оно совпадает с доказанной ранее формулой конечных приращений Лагранжа.

Предположим, что утверждение верно при   и установим, что оно верно и при n. Использую теорему Коши о среднем и лемму, имеем (для определенности  )

где  ,а предпоследнее равенство написано в силу предположения индукции.

Теорема доказана.

52. Дайте определение дифференциала функции. Запишите формулу для его вычисления.

 Определение

Дифференциалом функции называется линейная относительно   часть приращения функции. Она обозначается как   или  . Таким образом:

Замечание

Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.

Замечание

Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:

Замечание

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.

53. В чем геометрический и механический смысл дифференциала?

Проведем к графику функции   касательную   в точке   и рассмотрим ординату касательной для точки   (Рис. 32).  Из рисунка  ,  , из прямоугольного треугольника   имеем:  . Но согласно геометрическому смыслу производной получаем  ,  . Таким образом, дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда точка получает приращение.  Механический смысл дифференциала заключается в том, что дифференциал пути равен приращению пути, полученному в предположении, что, начиная с данного момента времени  , точка движется равномерно, сохраняя приобретенную скорость. 

54. Найти дифференциал функции .

55. Перечислите свойства дифференциала.

Выражение производной через дифференциалы:    где индекс "х" при y' показывает, что производная берется по аргументу х. В то же время дифференциалы dy и dx можно брать по любому аргументу.

Выражение дифференциала через производную:    Используя его, можно записать свойства дифференциалов, используя свойства производной.

1. Постоянный множитель можно вынести за знак дифференциала: 

2. дифференциал алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций 

3. дифференциал произведения 

4. дифференциал дроби (дифференциал частного) 

5. дифференциал сложной функции    где d g(x), в свою очередь, можно дифференцировать дальше.

56. Докажите инвариантность формы первого дифференциала.

В случае, когда переменная у = f(х) была функцией независимой переменной х, мы имеем, по определению,  у = f’(х)х или d_хх = f’(х)d_хх (1) Рассмотрим теперь случай, когда х является в свою очередь функцией другой переменной, х = х(t).  Теорема. Если функции х = (t) и у = (t) дифференцируемы в соответствующих точках t = t­₁ и х = х₁ = (t₁), то дифференциал сложной функции у = f((t)) = (t) может быть представлен в виде  d_tу = f’(х₁) d_tх.  Доказательство: Согласно определению дифференциала имеем d_tх = ’(t₁) d_tt (1¹)  d_tу = ’(t₁) d_tt (2) Но на основании теоремы о производной сложной функции мы видим, что  ’(t₁) = f’(х₁) ’(t₁) Подставив это выражение в формулу (2), получим:  d_tу = f’(х₁) ’(t₁) d_tt, отсюда в силу формулы (1¹) d_tу = f’(х₁) d_tх (3) Сравнив формулу (1) с формулой (3), мы заметим что их можно записать символически в виде  dу = f’(х) dх (4) Формулу (1) или (3) мы получаем из формулы (4), написав вместо d, соответственно d_х или d_t. Символы dх и dу не являются совершенными, однако во многих случаях, когда возможность ошибиться будет исключена, мы будем ими пользоваться вместо символов d_хх и d_ху или, соответственно, d_tх и d_tу.  Значение формулы (4) становится ясным, если обратить внимание на то, что при отыскании производной приходится пользоваться двумя формулами для определения производной у по х. А именно, когда переменная у зависит непосредственно от х, то у’_х = f’(х);  когда же зависимость переменной у от х даётся при помощи некоторой (промежуточной) функции и, то у’_х = f’(и)и’_х.  При отыскании же дифференциалов получим в обоих случаях одинаковые формулы:  d_ху = f’(х) d_хх, d_ху = f’(и) d_хи или  dу = f’(х) dх, dу = f’(и) dи.  ^

57. Вычислить приближенно с помощью дифференциала .

58. Дать определение дифференциала порядка функции и формулу для его вычисления через производные этой функции.

31