5. Система диф. Уравнений сар в общем виде, принцип суперпозиции

где – линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами (некоторые операторы могут быть = 0); – выходные величины элементов САР (её обобщенные координаты)

Система уравнений () всегда может быть приведена к одному уравнению относительно одной из координат. Обычно рассматривают уравнение САР для выходной регулируемой координаты :

или: .

Для линейных диф. уравнений с постоянными коэффициентами выполняется очень важный принцип суперпозиции. Он состоит в том, что каждая входная величина (заданная функция времени) создает свою составляющую выходной величины (искомой, ), независящую как от наличия и характера изменения других входных величин, так и от начальных условий (от значений входной величины и её «n – 1» производных в момент ). С другой стороны, и начальные условия вызывают переходной процесс, независимый от входных величин g и f.

Принцип суперпозиции, следовательно, означает, что решение уравнения () равно сумме трех составляющих:

,

где и – решения соответствующих неоднородных уравнений при нулевых начальных условиях, а – решение однородного уравнения:

A(p)y(t)=0 (***),

6. Общее решение однородного диф. Уравнения сар

A(p)y(t)=0 (***),

при заданных начальных условиях y(0)=y₀, y’(0)=y’₀, …., y^(n-1)(0)=y₀^(n-1).

7. Понятие передаточной функции сар (для соотв. Воздействий)

Передаточной функцией элемента называется отношение изображений по Лапласу его выходной величины ко входной при нулевых начальных условиях.

Поэтому для определения передаточной функции элемента надо сначала преобразовать по Лапласу при нулевых начальных условиях линейное или линеаризованное диф. уравнение этого элемента.

Теперь по определению передаточной функции найдем её для соответствующего входного воздействия:

при F(s) = 0, т.е.

8. Понятие о структурной схеме сар и её условные знаки

Структурная схема есть условное графическое изображение элемента или системы, которая даёт наглядное представление об их строении и позволяет составить математическое описание (т.е. совокупность алгебраических уравнений, связывающих изображения всех переменных).

Условные знаки структурных схем

9. Временные характеристики сар

Система диф. уравнений (), которая может быть приведена к уравнению для регулируемой величины () или для рассогласования, является исчерпывающим математическим описанием стационарной линейной САР. (Только не надо забывать неизбежную некоторую приближенность этого описания из-за идеализации процессов в элементах при составлении уравнений, а также из-за линеаризации самих уравнений)

Однако такое описание достаточно формализовано. Наглядное представление о динамических свойствах САР дает решение уравнения для регулируемой координаты, т.к. оно покажет изменение выходной величины во времени. Однако получить это решение на практике не всегда удаётся, ибо задающее воздействие g(t) известно лишь в системах стабилизации и программного регулирования, а возмущающее воздействие f(t), за редким исключением, вообще не известно. Поэтому использование решения диф. уравнения САР и её элементов (как при анализе, так и при синтезе) возможно лишь при некоторых стандартных типовых воздействиях.

Такие решения и их графики (при стандартных воздействиях) называют временными характеристиками элементов и систем. Рассмотрим основные наиболее употребительные временные характеристики от соответствующих типовых воздействий.

На практике часто имеет место резкое изменение внешнего воздействия на САР (например, включение-выключение потребителей эл. энергии, сброс-наброс нагрузки на валу двигателя КПМ и т.п.). Всегда важно оценить поведение САР в такой критической ситуации, т.е., выяснить, насколько значительным будет отклонение от нормального режима и как быстро и точно оно будет ликвидировано регулятором.

Быстрое изменение воздействия в пределе можно считать мгновенным. И для того, чтобы сравнивать при этом поведение разных систем и элементов, рассматривать следует строго определенные, нормированные изменения воздействий.

К одному из таких типовых воздействий относят единичную ступенчатую функцию времени (принадлежащую к классу так называемых обобщенных функций).

О на имеет график (рис 6).

Реакцию элемента или системы на входную величину, являющуюся единичной ступенчатой функцией 1(t), называют переходной характеристикой (или переходной функцией) h(t) элемента или системы.

П ри этом (на основании таблиц преобразований по Лапласу) изображение переходной характеристики h(t) определяется выражением:

,

где W(s) - передаточная функция элемента или системы; 1/s – изображение по Лапласу единичной ступенчатой функции 1(t).

Если известна переходная характеристика h(t), а входное воздействие не единично и равно g1(t), где g = const, – то выходная величина будет gh(t). Используя переходную характеристику и принцип суперпозиции, можно приближенно определить реакцию на входное воздействие произвольной формы. Достаточно аппроксимировать площадь, ограниченную кривой g(t), суммой сдвинутых во времени ступенчатых воздействий и просуммировать реакции на эти воздействия (см. рис 7):

.

Другим часто встречающимися воздействиями являются короткие, но существенные по величине всплески, импульсы (например, порыв ветра на самолёте, ударная нагрузка на двигатель КПМ и т.п.).

Для нормирования (одинаковости) следует пользоваться единичным импульсом. Это такой, у которого произведение длительности на величину равно единице, причем длительность достаточно мала. Предел, к которому стремится единичный импульс, когда его продолжительность стремится к нулю, есть единичная импульсная функция (дельта-функция): , причем .

Дельта-функция также относится к классу обобщенных функций и представляет собой производную от единичной ступенчатой функции (скачка): .

Реакцию элемента или системы на единичную импульсную (дельта) функцию называют импульсной характеристикой w(t). Следовательно: , а её изображение W(s) равно передаточной функции элемента или системы.

Мы будем в основном пользоваться переходными характеристиками. Они удобны и дают исчерпывающую информацию для оценки поведения элементов и систем в переходных режимах. Но для оценки установившихся режимов удобнее рассматривать поведение динамических элементов и систем при воздействиях, являющихся периодическими функциями времени.