10.1 Модель Леонтьева «затраты-выпуск»

Основным элементом модели является технологическая матрица , элементы которой показывают, сколько продукции отрасли i необходимо затратить для производства единицы продукции отрасли j. Матрица А называется матрицей коэффициентов прямых затрат.

Основное допущение модели: для производства единиц продук­ции отрасли j необходимо затратить

(10.6)

единиц продукции отрасли.

Промежуточные затраты продукции отрасли:

(10.7)

Тогда справедливо равенство:

(10.8)

или в матричной форме:

Система линейных уравнений (10.8) характеризует модель МОБ (мо­дель Леонтьева) и связывает объемы валового выпуска X с объемами ко­нечной продукции Y и может быть использована для согласованного рас­чета этих величин.

При использовании модели МОБ основные трудности заключаются в определении коэффициентов прямых затрат. Решение этой задачи до неко­торой степени упрощается введением понятия «чистой» или «технологи­ческой» отрасли: одна продукция выпускается только одной отраслью, которую будем называть «чистой».

10.2 Решение системы уравнений моб

Пусть задана матрица коэффициентов прямых затрат А. Предполо­жим, что эта матрица не зависит от объемов выпуска. Все элементы мат­рицы А в соответствии с экономическим содержанием неотрицательны: для всех .

Необходимо по заданному вектору конечного продукта Y найти век­тор валового выпуска X, т.е. решить систему линейных уравнений

(10.9)

Компоненты вектора Y неотрицательны:

Решение, которое нужно найти, по смыслу также должно иметь неотрицательные компоненты:

Матрица А называется продуктивной, если существуют два вектора и такие, что

Продуктивность матрицы означает, что производственная система способна обеспечить некоторый положительный конечный выпуск по всем продуктам.

Проблема продуктивности исследована в экономико-математической литературе достаточно исчерпывающе. Основные результаты сводятся к следующему: пусть А - неотрицательная квадратная матрица. Тогда каж­дое из четырех приведенных ниже условий эквивалентно продуктивности матрицы А:

1) последовательные главные миноры матрицы положительны,

где Е — единичная матрица, , т.е. для любого выполняется неравенство:

(10.10)

2) матрица (E-A) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (E-A)^-1 и все ее элементы неотрицательны:

(10.11)

3) матричный ряд сходится, причем:

(10.12)

4) максимальное собственное число матрицы А меньше единицы:

<I¹

Рассмотрим вопрос о том, в какой мере продуктивность свойственна реальным коэффициентам прямых затрат.

Для балансовых матриц в стоимостном выражении соблюдаются неравенства

(10.13)

что означает, что матрица , транспонированная к матрице , продук­тивна: для вектора Y со строго положительными компонентами и положительного вектора x=(1,1,…,1) выполняется равенство . Очевидно, что продуктивность транспонированной матрицы эквивалентна продуктивности матрицы A, т.к. главные миноры этих матриц совпадают (условие 1). Таким образом, для реальных экономиче­ских систем стоимостные матрицы коэффициентов прямых затрат должны быть продуктивными.

Можно показать, что матрица А продуктивна тогда и только тогда, если продуктивна матрица

Матрица затрат в натуральном выражении связана с матрицей затрат в стоимостном выражении:

(10.14)

где Р - диагональная матрица цен, - матрица, обратная к Р:

Поэтому множество собственных чисел (спектр) матрицы А совпада­ет с множеством собственных чисел матрицы : спектр матрицы А совпа­дает с множеством решений относительно уравнения , а спектр матрицы - с множеством решений уравнения . Вме­сте с тем:

Максимальное собственное число матрицы А совпадает с максимальным собственным числом матрицы . В силу условия (10.4) матрица А окажется продуктивной, тогда и только тогда, когда продук­тивна матрица .

Вернемся к уравнению (10.9). Перепишем систему в виде:

(E-A)X=Y

(10.15)

Если матрица А продуктивна, то, согласно условию (2), матрица (E-A)^-1 существует и неотрицательна. Поэтому решение системы урав­нений МОБ существует, единственно и имеет вид:

X=(E-A)-1Y

(10.16)

так как (E-A)-1≥0 и Y>0, то X>0