Контрольные вопросы

1.      Что понимается под элементарным, достоверным или невозможным событием?

2.      Что такое несовместимые события?

3.      Что такое равновозможное и противоположное событие?

 

1.2. Классическое определение вероятности случайного события

Под вероятностью случайного события понимают меру возможности осуществления данного события в конкретных условиях эксперимента (испытания). При классическом определении за вероятность события А принимается отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов к общему числу возможных исходов [3]:

 

.

 

Поскольку в общем случае , то из этого определения следует, что вероятность произвольного случайного события принимает значения из отрезка [0, 1].

 

1.2.1. Основные свойства вероятности случайного события

1. Вероятность невозможного события равна 0. Действительно, поскольку число благоприятных невозможному событию исходов равно 0, то получим

.

 

2. Вероятность достоверного события равна 1. Действительно, поскольку каждое событие пространства элементарных исходов удовлетворяет достоверному событию, то получим

 

.

 

3. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.

4. Вероятность противоположного события можно вычислить исходя из предыдущего утверждения:

 

.

 

5. Теорема умножения. Вероятность произведения двух событий и равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго относительно первого [3]:

 

.

 

Если события и независимы, то

 

.

 

6. Теорема сложения. Вероятность суммы двух совместных событий и равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

 

Если события и несовместны, т. е. не могут произойти одновременно, то

.

 

Если задача заключается в том, чтобы найти вероятность хотя бы одного события (А) из группы независимых событий , составляющих полную группу, то эта задача проще решается через противоположное событие (не появилось ни одного события из данной группы):

 

.

 

1.2.2. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез

Вероятность события А, которое может произойти только при появлении одного из несовместных событий (гипотез) (гипотез ), , образующих полную группу, называется полной вероятностью события и вычисляется по формуле [3]

 

,

 

где – вероятность события ; – условная вероятность события А относительно события .

Если в результате испытания событие А произошло, то вероятность того, что при этом имело место событие , вычисляется по формуле (формула Байеса)

.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

В случае, когда события А и В совместны, вер-ть их суммы выражается формулой

Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ),

где АВ – произведение событий А и В.

Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.

Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что событие А наступило.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Теорема  умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых  событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В).

Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события А появляется с вероятностью р, вероятность появления события А хотя бы один раз равна 1 - (1 - р)ⁿ