Часть I. Основы измерения и количественного описания данных

мы получаем принципиальную возможность предсказания неизвестных зна­чений одной переменной (У— «зависимая переменная») по известным значе­ниям другой переменной (X — «независимая переменная»). Например, пред­сказываемой «зависимой переменной» может быть успешность обучения, а предиктором, «независимой переменной» — результаты вступительного теста.

С какой степенью точности возможно такое предсказание?

Понятно, что наиболее точным предсказание будет, если \г_ху\ = 1. Тогда каж­дому значению Сбудет соответствовать только одно значение У, а все ошибки оценки будут равны 0 (все точки на графике рассеивания будут лежать на пря­мой регрессии). Если же г_ху — О, то b = О и у, = М_у, т. е. при любом Xоценка переменной Убудет равна ее среднему значению и предсказательная ценность регрессии ничтожна.

Особое значение для оценки точности предсказания имеет дисперсия оце­нок зависимой переменной. Отметим, что дисперсия оценок равна нулю, если г_ху = 0 — все оценки равны среднему значению, прямая регрессии параллель­на оси X. А если \г_ху\ = 1, то дисперсия оценок равна истинной дисперсии пе­ременной У, достигая своего максимума:

0 < о) < а] .

По сути, дисперсия оценок зависимой переменной У— это та часть ее пол­ной дисперсии, которая обусловлена влиянием независимой переменной X.

Неизвестную дисперсию оценок У можно выразить через другие, извест­ные статистики, зная рассмотренные ранее свойства дисперсии:

так как прибавление константы а к каждому значению переменной не меняет дисперсию, а умножение на константу b — увеличивает дисперсию в />²раз. Подставляя в формулу выражение для b из (6.2) получаем:

(6.4)

Иначе говоря, отношение дисперсии оценок зависимой переменной к ее ис­тинной дисперсии равно квадрату коэффициента корреляции.

Выражение (6.4) дает еще один вариант интерпретации корреляции. Квад­рат коэффициента корреляции (R Square) зависимой и независимой перемен­ных представляет долю дисперсии зависимой переменной, обусловленной влиянием независимой переменной, и называется коэффициентом детерми­нации. Коэффициент детерминации г_ху, таким образом, показывает, в какой сте­пени изменчивость одной переменной обусловлена (детерминирована) вли­янием другой переменной.

74

Глава 6. Коэффициенты корреляции

ПРИМЕР

В большинстве исследований взаимосвязи IQ и успеваемости в школе корреляции этих показателей не превышают 0,5—0,7, т. е. коэффициент детерминации достигает величин 0,25—0,49. Иными словами, индивидуальная изменчивость (дисперсия) сред­него балла успеваемости может быть предсказана по результатам тестирования IQ не более чем на 25—49%. Означает ли это, что успешность обучения не более чем на 25—49% зависит от интеллекта? Ответ зависит от того, в какой мере средний балл отметок отражает успешность обучения, а тест IQ — интеллектуальные способности учащегося. Во всяком случае, этот пример демонстрирует явно не высокую эффек­тивность двумерной регрессии в деле практического предсказания¹.

Коэффициент детерминации обладает важным преимуществом по сравне­нию с коэффициентом корреляции. Корреляция не является линейной функци­ей связи между двумя переменными. Поэтому, в частности, среднее арифмети­ческое коэффициентов корреляции для нескольких выборок не совпадает с корреляцией, вычисленной сразу для всех испытуемых из этих выборок (т. е. коэффициент корреляции не аддитивен). Напротив, коэффициент детерми­нации отражает связь линейно и поэтому является аддитивным: допускается его усреднение для нескольких выборок.

Дополнительную информацию о силе связи дает значение коэффициента корреляции в квадрате — коэффициент детерминации г²: это часть диспер­сии одной переменной, которая может быть объяснена влиянием другой пе­ременной. В отличие от коэффициента корреляции г² линейно возрастает с увеличением силы связи. На этом основании можно ввести три градации ве­личин корреляции по силе связи:

г < 0,3 — слабая связь (менее 10% от общей доли дисперсии);

0,3 < г < 0,7 — умеренная связь (от 10 до 50% от общей доли дисперсии);

г > 0,7 — сильная связь (50% и более от общей доли дисперсии).

ЧАСТНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Очень часто две переменные коррелируют друг с другом только за счет того, что обе они согласованно меняются под влиянием некоторой третьей пере­менной. Иными словами, на самом деле связь между соответствующими свой­ствами отсутствует, но проявляется в статистической взаимосвязи (корреля­ции) под влиянием общей причины.

ПРИМЕР

Общей причиной изменчивости двух переменных («третьей переменной») может яв­ляться возраст при изучении взаимосвязи различных психологических особеннос­тей в группе детей разного возраста. Предположим, что изучается взаимосвязь меж­ду зрелостью моральных суждений — Хп скоростью чтения — К Но в распоряжении

¹ С более совершенными методами предсказания книга знакомит вас в части 3: «Много­мерные методы...»

75