2.3. Решение простейших тригонометрических уравнений
а)
Установить соответствие: Уравнение
Корни.
б) Проверочная работа:
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Каково
будет решение уравнения
При каком значении а уравнение имеет решение? Какой формулой выражается это решение? На какой оси откладывается значение а при решении уравнения ? В
каком промежутке находится
В каком промежутке находится значение а? Каким
будет решение уравнения
Каким
будет решение уравнения
Каким
будет решение уравнения
Чему
равняется
В
каком промежутке находится
Какой
формулой выражается решение уравнения
|
Каково
будет решение уравнения
При каком значении а уравнение имеет решение? Какой формулой выражается это решение? На какой оси откладывается значение а при решении уравнения ? В
каком промежутке находится
В каком промежутке находится значение а? Каким
будет решение уравнения
Каким
будет решение уравнения
Каким
будет решение уравнения
Чему
равняется
В
каком промежутке находится
Какой
формулой выражается решение уравнения
|
при
?
?
?
?
?
?
?
?
при
?
?
?
?
?
?
?
?(Ответы)
№ |
Вариант 1 |
Вариант 2 |
1 |
Нет решения |
Нет решения |
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
На оси Ох |
На оси Оу |
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2.4 Методы решения тригонометрических уравнений
а) Таблица по методам решения тригонометрических уравнений.
Учащимся предлагается решить уравнения (по вариантам), предварительно определив, что это за уравнение и каким методом оно решается.
Вариант 1 |
Вариант 2 |
1) Уравнения, сводимые к алгебраическим. |
|
|
|
2) Разложение на множители. |
|
|
|
3) Введение новой переменной. |
|
|
|
4) Введение вспомогательного аргумента. |
|
|
|
5) Уравнения, решаемые с помощью формул сложения. |
|
|
|
(Ответы)
Вариант 1 |
Вариант 2 |
1)
|
1)
|
2)
|
2)
,
;
|
3)
|
3)
|
4)
|
4)
|
5)
|
5)
|
.
.
,
;
,
.
,
;
.
;
;
.
,
.
.
б) Фрагмент урока:
Цель: Познакомить учащихся с еще одним методом решения тригонометрических уравнений – методом понижения степени уравнений.
Если в уравнении имеется синус или косинус в четной степени, то выражая
квадраты
синуса (
) и косинуса (
)
половинного угла через косинус угла, можно понизить степень уравнения.
Опираясь на формулы квадрата половинных углов, записываем формулы понижения степени
и
.
Учащимся для рассмотрения новой темы предлагается к решению уравнение:
2sin2 x + cos 4x = 0
Решение:
Ответ:
уравнение имеет три серии решений:
.
в) Решение уравнений методом оценки левой и правой части.
Пример № 1.
sinx/4+ 2cos(x-2р)/3=3.
Решение:
sinx/4 и 2cos(x-2π)/3 при всех х удовлетворяют неравенствам:
-1≤ sinx/4≤1 и -2≤2cos(x-2р)/3≤2. Если сложить эти неравенства, то получится
-3≤ sinx/4+ 2cos(x-2π)/3≤3. В правой части уравнения стоит 3.
Исходное уравнение будет иметь решения тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства: sinx/4=1 и 2cos(x-2р)/3=2.
Поэтому исходное уравнение равносильно системе уравнений: sinx/4=1 , 2cos(x-2π)/3=2.
Решив первое (оно проще) уравнение системы, получаем х= 2π+8πn, nєZ.
Подставим эти значения во второе уравнение системы. В левой части указанного уравнения получаем: cos(2π+8πn-2π)/3=cos8πn/3.
При каких n будет выполняться равенство cos8πn/3=1? Легко убедиться, что только в тех случаях, когда n делится на 3, т.е. n=3k , к є Z,
Поэтому обоим уравнениям системы (а значит и исходному уравнению) удовлетворяют значения х, определяемые формулой: х=2π+24πk кєZ.
Ответ: 2π+24πk кєZ.
г) Самостоятельная работа (обучающего характера).
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Решить уравнение, применяя формулы понижения степени.
|
Решить уравнение, применяя формулы понижения степени.
|
д) Самостоятельная работа по теме «Решение тригонометрических уравнений».
Вариант № 1.
1) 2соs2x+ 2 sin x= 2,5; |
2) sin 2x= - cos 2x; |
3) sin 2x= 2√3sin2x; |
4) √3 sin x+ cos x= √2. |
Вариант № 2.
1) 2sin2x- 2cos x=5/2; |
2) √3 sin(x-П/3) + 3cos(x-П/3)= 0; |
3) 2sin2x- √3 sin 2x=0; |
4) √3 sin x- cos x= 2 |
Вариант № 3.
1) 2sin2x+ 5cos x +1=0; |
2) 1-2sin 2x= 6cos2x; |
3) ( cos x+ sin x)2= cos 2x; |
4) sin 2x- sin 3x= 0. |
Вариант № 4.
1) ctg x= -4- 3tg x; |
2) 1+2sin 2x+ 2cos2x=0; |
3) ( cos x- sin x)2= cos 2x; |
4) cos 6x- cos 8x= 1- cos 2x. |