2. Непрерывность и сечения

Но что такое непрерывность n измерений? Чем отличается она от непрерывности с меньшим или большим числом измерений? Напомним сначала некоторые результаты, полученные учениками Кантора. Можно установить однозначное соответствие между точ­ками какой-нибудь прямой и точками какой-нибудь плоскости или более общо, между точками непрерывности п измерений и точ­ками непрерывности р измерений. Это возможно, пока мы не свя­зываем себя условием, чтобы двум бесконечно близким точкам этой прямой соответствовали две бесконечно близкие точки плоскости, т. е. пока мы не придерживаемся условия непрерывности. .

Следовательно можно, деформируя плоскость, получить пря­мую, лишь бы эта деформация Не была непрерывной. Наоборот, это было бы невозможно при непрерывной деформации. Таким образом, вопрос о числе измерений тесно связан с понятием непрерывности и теряет всякий смысл для того, кто отвлекся бы от этого понятия.

Для определения непрерывности n измерений мы имеем прежде всего аналитическое определение: непрерывность n измерений — это совокупность n координат, т. е. совокупность n величин, которые могут изменяться независимо друг от друга и принимать все вещественные значения, удовлетворяющие некоторым нера­венствам. Хотя это определение безупречно с математической точки зрения, однако оно не может нас вполне удовлетворить. В непрерывности различные координаты не просто расположены, так сказать, одна около другой; они связаны между собой, образуя различные, аспекты одного целого. Изучая пространство, мы в каждый момент производим то, что называется изменением координат. Например, мы изменяем прямоугольные оси коорди­нат или даже переходим к криволинейным координатам. Изу­чая другую непрерывность, мы также изменяем координаты, т. е. заменяем наши n координат какими-либо n непрерывными функциями этих координат. Для нас, извлекающих понятие о непрерывности n измерений не из указанного выше аналитическо­го определения, а из некоторого более глубокого источника, эта операция вполне естественна; мы чувствуем, что она не искажает того, что существенно в непрерывности. Наоборот, для тех, кто знал бы непрерывность из ее аналитического определения эта операция была бы, без сомнения, допустимой, но странной и не непонятной.

Наконец, это определение с легкостью жертвует интуитивным происхождением понятия непрерывности и всеми богатствами заключающимися в этом понятии. Оно относится к категории тех, определений, которые стали столь частыми в математике с тех пор, как стремятся «арифметизировать» эту науку. Эти определения, как мы сказали, безупречные с точки зрения математика, не мо­гут удовлетворить философа. Они заменяют определяемый предмет и интуитивное понятие этого предмета конструкцией, сделан­ной из более простых материалов. Мы видим, что действительно из этих материалов можно выполнить такую конструкцию, но в то же время видно, что из них можно было бы сделать и множество других конструкций. Из самой конструкции непонятно, в силу ка­ких глубоких соображений собрали эти материалы именно таким, а не каким-нибудь иным образом. Я не хочу сказать, что эта «арифметизация» математики — плохая вещь, я утверждаю лишь, что она не составляет всего.

Я попытаюсь обосновать определение числа измерений на по­нятии сечения. Представим себе замкнутую кривую, т. е. непре­рывность одного измерения. Если мы отметим на этой кривой две какие-нибудь точки, через которые мы запретим себе пересту­пать, то кривая окажется разделенной на две части, и невозмож­но будет перейти из одной части в другую, оставаясь на кривой и не переходя через запретные точки. Возьмем, наоборот, замкнутую поверхность, образующую непрерывность двух измерений. Мы можем отметить на этой поверхности одну, две, любое число запретных точек, поверхность от этого не окажется разбитой на две части. Можно будет перейти от одной ее точки к другой, не встречая препятствий, так как всегда можно будет обойти запрет­ные точки.

Но если мы проведем на нашей поверхности одну или несколько замкнутых кривых и если мы будем рассматривать их как сечения, которые нельзя переступать, то поверхность может быть рассечена на несколько частей.

Перейдем теперь к случаю пространства. Его невозможно разделить на несколько частей, запрещая переступать через от­дельные точки или через отдельные линии: эти препятствия всегда можно обогнуть. Здесь следует запретить переступать через опре­деленные поверхности, т. е. через сечения двух измерений. Вот почему мы говорим, что пространство имеет три измерения.

Мы теперь знаем, что такое непрерывность n измерений. Непрерывность имеет n измерений, когда ее можно разбить на несколько частей, произведя в ней одно или несколько сечений, которые сами являются непрерывностями n — 1 измерений. Таким образом, непрерывность n измерений определяется через непре­рывность n — 1 измерений. Это — рекуррентное определение.

Что мне внушает доверие к этому определению и показывает, что именно таким образом вещи естественно представляются уму, это прежде всего то, что многие авторы элементарных учебников, не мудрствуя лукаво, поступают аналогичным образом в начале своих сочинений. Объемы они определяют как части прос­транства, поверхности — как границы объемов, линии — как гра­ницы поверхностей, точки — как границы линий. После этого они останавливаются, и аналогия очевидна. Лишь впоследствии в дру­гих частях Analysis situs мы встречаемся снова с понятием сече­ния имеющим огромное значение. Все здесь основано на сечении. Что' например, по Риману, отличает тор от сферы? То, что на сфере нельзя провести замкнутую кривую, не рассекая эту поверхность на две части, в то время как существуют замкнутые кривые, которые не рассекают тор на две части; на нем нужно провести два замкнутых сечения, не имеющих общей точки, чтобы быть уверенным в том, что тор разделен.

Остается рассмотреть еще один вопрос. Непрерывности, о ко­торых мы только что говорили,— это математические непрерыв­ности; каждая из их точек абсолютно отлична от других и к тому же абсолютно неделима. Непрерывности же, которые даются нам непосредственно нашими чувствами и которые я назвал бы физическими непрерывностями, совсем иного рода. Законом этих непрерывностей служит закон Фехнера, который я освобожу от украшающего его пышного математического наряда и сведу к простой формулировке лежащих в его основе экспериментальных данных. Взвешивая на руке, можно отличить вес в 10 граммов от веса в 12 граммов, но нельзя отличить вес в 11 граммов ни от веса & 10 граммов, ни от веса в 12 граммов. Возьмем более общий случай: могут быть две совокупности ощущений, которые мы отличаем друг от друга, но которые мы не можем отличить от некоторой третьей подобной же совокупности ощущений. В таком случае мы можем вообразить себе непрерывную цепь совокупностей ощущений такого рода, что каждая из них неотличима от сле­дующей, хотя оба конца цепи легко отличимы. Это будет физи­ческая непрерывность одного измерения. Мы можем также пред­ставить себе более сложные физические непрерывности. Элемента­ми этих физических непрерывностей будут по-прежнему совокуп­ности ощущений (но предпочитаю употреблять более простое сло­во «элемент»). Когда, в этом случае, вправе мы будем сказать, что система S подобных элементов представляет физическую не­прерывность? Тогда, когда можно рассматривать два любых эле­мента ее как концы некоторой непрерывной цепи, подобной той, о которой я говорил, и все элементы которой принадлежат системе S. Это так же, как непрерывна поверхность, если можно соединить две ее любые точки непрерывной линией, не покидаю­щей этой поверхности.

Можем ли мы распространить понятие сечения и на физи­ческие непрерывности и определить таким образом число их изме­рении? Разумеется, да. Положим, что мы сделали запретными не­которые из элементов S и все те элементы, которые нельзя от них отличить. Эти запретные элементы могут быть в конечном числе или образовывать в своей совокупности одну или несколько непрерывностей. Совокупность этих запретных элементов и соста­вит сечение. Может случиться, что, произведя это сечение, мы разделим непрерывность 5 на несколько других непрерывностей так, что нельзя будет перейти непрерывным образом от одного какого-нибудь элемента S к другому какому-нибудь ее элементу по непрерывной цепи, притом таким образом, чтобы ни один эле­мент этой цепи не был неотличим от какого-нибудь элемента сечения.

Физическая непрерывность, которую можно разбить таким образом на несколько частей, сделав запретными конечное число элементов, будет иметь одно измерение. Физическая непрерыв­ность будет иметь n измерений, если можно разбить ее, проведя сечения, представляющие собой в свою очередь физические непре­рывности n — 1 измерений.