Приложения 1ой квадратичной формы.

Первая квадратичная форма применяется при решении трех основных задач:

1. Вычисление длины кривой на поверхности;

2. Вычисление угла между кривыми на поверхности;

3. Вычисление площади поверхности

Перечисленные задачи являются метрическими.

1. Длины дуги линии на поверхности

На поверхности рассмотрим линию, внутренние уравнения которой . Т.к. , то и

Вывод: для вычисления длины дуги линии на поверхности, заданной системой своих внутренних уравнений, надо знать лишь коэффициенты 1^ой квадратичной формы как функции от параметров .

2) Угол между линиями на поверхности

Опр.: углом между кривыми , лежащими на поверхности и пересекающимися в точке , называется угол между направлениями этих кривых в точке . Таким образом, угол между кривыми на поверхности – это угол между касательными к ним.

Н аправление касательной определяется дифференциалом в точке.

Углом между направлениями называется угол между векторами:

Вывод: для определения угла между линиями на поверхности, заданными своими внутренними уравнениями, достаточно знать коэффициенты 1^ой квадратичной формы и направления кривых, которые задаются полными дифференциалами.

3) Площадь области на поверхности

Пусть в замкнутой односвязной квадрируемой области задана регулярная поверхность в регулярной параметризации - поверхностью с краем класса . На поверхности выберем квадрируемую область .

Разобьем область координатными линиями на криволинейные прямоугольники. Рассмотрим прямоугольник , где

Преобразуем криволинейный прямоугольник к прямолинейному, заменяя длины дуг на хорды, их стягивающие, т.е. , .

Тогда , но и . Получаем, что . Площадь области состоит из суммы площадей , поэтому

Построим интегральную сумму: .

Опр.: площадью регулярной поверхности с краем называется предел суммы , когда наибольший из диаметров частичных областей (областей разбиения) стремится к нулю, если этот предел существует и не зависит от способа разбиения области на частичные подобласти.

Теорема:

Площадь регулярной поверхности с краем класса существует, если регулярная параметризация поверхности, то площадь поверхности ищется по формуле:

Вторая квадратичная форма

1. Определение 2ой квадратичной формы поверхности

Рассмотрим параметризованную поверхность . Тогда

и второй дифференциал вектор-функции не является квадратичной формой из-за наличия двух добавочных последних слагаемых (если переменные и являются функциями, то они тоже представимы по формуле второго дифференциала).

Т.к. векторы и направлены по касательной к координатным линиям, то они лежат в касательной плоскости, а значит ортогональны орту вектора нормали . Домножим выражение для второго дифференциала вектор-функции на вектор , тогда получим:

Опр.: скалярное произведение полного дифференциала второго порядка вектор-функции текущей точки поверхности на орт вектора нормали в этой точке называется второй квадратичной формой поверхности: .

2^ая квадратичная форма может быть записана в виде:

где - коэффициенты 2^ой квадратичной формы.

Вычислительные формулы для коэффициентов 2^ой квадратичной формы.

Из определения 2^ой квадратичной формы получаем, что , и . Учитывая, что , получаем

, и или в координатной форме: и т.д.

Замечание:

В силу ортогональности вектора с векторами и имеем

Дифференцируя по переменным и , имеем:

, и .

Тогда , и .

2. Нормальная кривизна линии на поверхности

Рассмотрим параметризованную поверхность и линию на этой поверхности, заданную внутренними уравнениями и .

Вектором кривизны любой кривой (в частности и кривой, расположенной на поверхности) называется произведение кривизны этой кривой на орт ее главной нормали , т.е. .

По формуле Френе: .

Опр.: нормальной кривизной линии на поверхности называется проекция этой линии на нормаль к поверхности в рассматриваемой точке (скалярное произведение векторов, т.к. ):

или , т.е. нормальная кривизна определяется через коэффициенты и коэффициенты разложения (орта касательной).

Замечание (Теорема):

Все линии на поверхности, проходящие через данную точку и обладающие в ней общей касательной, имеют в этой точке одинаковые нормальные кривизны.