Решение.
Расчет матрицы парных коэффициентов корреляции выполнен при помощи надстройки ms Excel «Пакет анализа», функция «Корреляция» Матрица представлена в Таблице 2
Таблица 2
|
Y |
X1 |
X2 |
X3 |
Y |
1 |
|
|
|
X1 |
-0,40346 |
1 |
|
|
X2 |
0,688389 |
-0,155005943 |
1 |
|
X3 |
0,845531 |
-0,082018234 |
0,806625894 |
1 |
Расчет парных коэффициентов корреляции произведены по формуле:
Оценка значимости производилась по t-статистике.
t табл вычислено с использованием функции СТЬЮДРАСПОБР
Таблица 3
|
r |
r**2 |
n |
n-2 |
t набл |
t табл |
Уровень значимости α |
YX1 |
-0,403 |
0,16 |
40 |
38 |
2,718 |
2,024 |
0,05 |
YX2 |
0,688 |
0,47 |
40 |
38 |
5,850 |
2,024 |
0,05 |
YX3 |
0,846 |
0,71 |
40 |
38 |
9,762 |
2,024 |
0,05 |
X1X2 |
-0,155 |
0,02 |
40 |
38 |
0,967 |
2,024 |
0,05 |
X1X3 |
-0,082 |
0,01 |
40 |
38 |
0,507 |
2,024 |
0,05 |
X2X3 |
0,807 |
0,65 |
40 |
38 |
8,413 |
2,024 |
0,05 |
Наиболее тесно связанный с результативным признак – X3 (общая площадь квартиры). Все факторы, согласно t-статистики по отношению к результативному являются значимыми. Наиболее тесная связь – между результативным признаком и X3 (общей площадью квартиры). Обнаружена мультиколлинеарность – корреляционная значимая связь между X2(количеством комнат) и X3(общей площадью), что очевидно.
Корреляция результативного признака и X1(город) – отрицательна. Это означает, что Люберцы (0) ценятся больше Подольска (1), что логично – объясняется удаленностью. Корреляция Y,X2,X3 положительна, что также логично - чем больше комнат и чем больше площадь, тем больше ценится квартирка.
Поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора(X3-общая площадь) представлено на Рис.1. Аномальных данных не обнаружено.
Рис.1
Расчет параметров парной линейной парной регрессии для всех факторов X производился с использованием инструмента Анализа данных «Регрессия». Результаты сведены в Таблицу 4.
Таблица 4
Модель |
Коэффициент детерминации |
F-критерий Фишера |
Индекс корреляции |
Средняя относительная ошибка |
F табличн |
Адекватность |
YX1 |
0,163 |
7,388 |
0,403 |
36,96% |
3,25 |
Адекватна |
YX2 |
0,474 |
34,227 |
0,688 |
27,90% |
3,25 |
Адекватна |
YX3 |
0,715 |
95,297 |
0,846 |
27,90% |
3,25 |
Адекватна |
YX1X3 |
0,827 |
88,628 |
0,910 |
19,62% |
3,25 |
Адекватна |
Уравнения регрессии:
Y=117,504-41,510X1
Y= 13,151+33,54X2
Y= 13,301+1,545X3
Y= 10,087-34,608X1+1,495X3
Таблица 3 содержит параметры парной регрессии. Лучшей моделью следует признать модель парной регрессии которая учитывает фактор X3 (общая площадь квартиры).
Прогнозное значение результативного признака (стоимости квартиры) определим по уравнению линейной модели, признанной наилучшей:
Y= 13,301+1,545X3; Согласно заданию прогнозное значение фактора X3 составляет 80% от его максимального значения при уровне значимости α=0,1.
X3max =169,00. X3прогн=0,8* X3max=0,8*169,00=135,2
Y= 13,301+1,545X3=222,185 ($ USD)
Ширина доверительного интервала рассчитывается по формулам:
27,861
Коэффициент Стьюдента tα для m = n - 2 = 38 и уровня значимости 0,1 равен 1,686. (использована функция СТЬЮДРАСПОБР)
Результаты расчета сведены в Таблицу 5
Таблицу 5
-
X3 прогн
135,200
Y прогн
222,185
Sy
27,861
Tтабл
1,686
X3 средн
69,193
(Xпр-Xср)**2
4356,990
∑((Xi-Xср)**2)
30970,268
U
50,715
Ymin
171,470
Ymax
272,900
Таким образом с вероятностью 90% можно утверждать, что при 80% от максимального фактора X3(площадь квартиры) стоимость будет находится в доверительном интервале от 171,47$USD до 272,900 $USD.
Графическое представление фактических и модельных значений приведено на Рис.2
Рис.2
Используем пошаговую множественную регрессию – метод исключения, строим более точную многофакторную модель. Таблица парной корреляции (Таблица 2) указывает на мультиколлинеарность в модели – тесную связь между объясняющими факторами X2 и X3.
Исключаем из модели фактор X2 – количество комнат. Таблица парной корреляции примет следующий вид (Таблица 6):
Таблица 6.
-
Y
X1
X3
Y
1
X1
-0,403
1
X3
0,846
-0,082
1
Таблица 4 дает представление о том, что многофакторная модель улучшила показатели, модель стала более достоверной. Однако и теперь она несовершенна, т.к. средняя относительная ошибка составляет 19,6%, что слишком много (должно быть меньше 7%).
Расчет коэффициентов эластичности, β и ∆ - коэффициентов приведен в Таблице 7. Расчет производился по формулам:
где Sxj — среднеквадратическое отклонение фактора j
—
коэффициент
парной корреляции между фактором
j
(j = 1,...,m) и зависимой переменной.
Таблица 7
-
Среднее Y
93,64
Sy
51,51
Sx1
0,50
Sx3
28,18
a1
-34,608
a2
1,495
Коэффициент эластичности Эyx1
-0,213
Коэффициент эластичности Эyx3
1,105
Бета коэффициент βyx1
-0,336
Бета коэффициент βyx3
0,818
Дельта коэффициент ∆yx1
0,164
Дельта коэффициент ∆yx3
0,836
Коэффициент парной корреляции ryx1
-0,403
Коэффициент парной корреляции ryx3
0,846
Коэффициент детерминации R**2
0,827
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении фактора j на один процент. Из полученных данных видно, что большим влиянием обладает фактор X3 – жилая площадь.
Бета-коэффициент показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения Sy изменится зависимая переменная Y с изменением соответствующей независимой переменной Хj на величину своего среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных. Наблюдаем большее влияние фактора X3.
Указанные коэффициенты позволяют упорядочить факторы по степени влияния факторов на зависимую переменную.
Долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта – коэффициентов. Наблюдаем большее влияние фактора X3.
Вспомогательные расчеты приведены в Таблице 8.
№ |
Y |
X1 |
X3 |
Y-Yср |
(Y-Yср)**2 |
X1-X1ср |
(X1-X1ср)**2 |
X2-X2ср |
(X2-X2ср)**2 |
1 |
115,00 |
0 |
70,40 |
21,36 |
456,45 |
-0,58 |
0,33 |
1,21 |
1,46 |
2 |
85,00 |
1 |
82,80 |
-8,64 |
74,57 |
0,43 |
0,18 |
13,61 |
185,16 |
3 |
69,00 |
1 |
64,50 |
-24,64 |
606,90 |
0,43 |
0,18 |
-4,69 |
22,02 |
4 |
57,00 |
1 |
55,10 |
-36,64 |
1342,14 |
0,43 |
0,18 |
-14,09 |
198,60 |
5 |
184,60 |
0 |
83,90 |
90,96 |
8274,59 |
-0,58 |
0,33 |
14,71 |
216,31 |
6 |
56,00 |
1 |
32,20 |
-37,64 |
1416,41 |
0,43 |
0,18 |
-36,99 |
1368,45 |
7 |
85,00 |
0 |
65,00 |
-8,64 |
74,57 |
-0,58 |
0,33 |
-4,19 |
17,58 |
8 |
265,00 |
0 |
169,00 |
171,36 |
29365,88 |
-0,58 |
0,33 |
99,81 |
9961,54 |
9 |
60,65 |
1 |
74,00 |
-32,99 |
1088,03 |
0,43 |
0,18 |
4,81 |
23,11 |
10 |
130,00 |
0 |
87,00 |
36,36 |
1322,40 |
-0,58 |
0,33 |
17,81 |
317,11 |
11 |
46,00 |
1 |
44,00 |
-47,64 |
2269,12 |
0,43 |
0,18 |
-25,19 |
634,66 |
12 |
115,00 |
0 |
60,00 |
21,36 |
456,45 |
-0,58 |
0,33 |
-9,19 |
84,50 |
13 |
70,96 |
0 |
65,70 |
-22,68 |
514,17 |
-0,58 |
0,33 |
-3,49 |
12,20 |
14 |
39,50 |
1 |
42,00 |
-54,14 |
2930,63 |
0,43 |
0,18 |
-27,19 |
739,43 |
15 |
78,90 |
0 |
49,30 |
-14,74 |
217,13 |
-0,58 |
0,33 |
-19,89 |
395,71 |
16 |
60,00 |
1 |
64,50 |
-33,64 |
1131,33 |
0,43 |
0,18 |
-4,69 |
22,02 |
17 |
100,00 |
1 |
93,80 |
6,36 |
40,51 |
0,43 |
0,18 |
24,61 |
605,53 |
18 |
51,00 |
1 |
64,00 |
-42,64 |
1817,76 |
0,43 |
0,18 |
-5,19 |
26,96 |
19 |
157,00 |
0 |
98,00 |
63,36 |
4015,09 |
-0,58 |
0,33 |
28,81 |
829,87 |
20 |
123,50 |
1 |
107,50 |
29,86 |
891,90 |
0,43 |
0,18 |
38,31 |
1467,46 |
21 |
55,20 |
0 |
48,00 |
-38,44 |
1477,27 |
-0,58 |
0,33 |
-21,19 |
449,12 |
22 |
95,50 |
1 |
80,00 |
1,86 |
3,48 |
0,43 |
0,18 |
10,81 |
116,80 |
23 |
57,60 |
0 |
63,90 |
-36,04 |
1298,54 |
-0,58 |
0,33 |
-5,29 |
28,01 |
24 |
64,50 |
1 |
58,10 |
-29,14 |
848,86 |
0,43 |
0,18 |
-11,09 |
123,04 |
25 |
92,00 |
1 |
83,00 |
-1,64 |
2,67 |
0,43 |
0,18 |
13,81 |
190,65 |
26 |
100,00 |
1 |
73,40 |
6,36 |
40,51 |
0,43 |
0,18 |
4,21 |
17,70 |
27 |
81,00 |
0 |
45,50 |
-12,64 |
159,65 |
-0,58 |
0,33 |
-23,69 |
561,33 |
28 |
65,00 |
1 |
32,00 |
-28,64 |
819,98 |
0,43 |
0,18 |
-37,19 |
1383,28 |
29 |
110,00 |
0 |
65,20 |
16,36 |
267,81 |
-0,58 |
0,33 |
-3,99 |
15,94 |
30 |
42,10 |
1 |
40,30 |
-51,54 |
2655,88 |
0,43 |
0,18 |
-28,89 |
834,78 |
31 |
135,00 |
0 |
72,00 |
41,36 |
1711,04 |
-0,58 |
0,33 |
2,81 |
7,88 |
32 |
39,00 |
1 |
36,00 |
-54,64 |
2985,01 |
0,43 |
0,18 |
-33,19 |
1101,74 |
33 |
57,00 |
1 |
61,50 |
-36,64 |
1342,14 |
0,43 |
0,18 |
-7,69 |
59,17 |
34 |
80,00 |
0 |
35,50 |
-13,64 |
185,92 |
-0,58 |
0,33 |
-33,69 |
1135,18 |
35 |
61,00 |
1 |
58,10 |
-32,64 |
1065,06 |
0,43 |
0,18 |
-11,09 |
123,04 |
36 |
69,60 |
1 |
83,00 |
-24,04 |
577,69 |
0,43 |
0,18 |
13,81 |
190,65 |
37 |
250,00 |
1 |
152,00 |
156,36 |
24449,94 |
0,43 |
0,18 |
82,81 |
6857,08 |
38 |
64,50 |
1 |
64,50 |
-29,14 |
848,86 |
0,43 |
0,18 |
-4,69 |
22,02 |
39 |
125,00 |
0 |
54,00 |
31,36 |
983,75 |
-0,58 |
0,33 |
-15,19 |
230,81 |
40 |
152,30 |
0 |
89,00 |
58,66 |
3441,55 |
-0,58 |
0,33 |
19,81 |
392,34 |
Сум |
3745,41 |
|
|
|
103471,62 |
|
9,78 |
|
30970,27 |
Сред |
93,64 |
0,58 |
69,19 |
|
|
|
|
|
|