1. Математическое ожидание

₍₁₈₎

2. Дисперсия

₍₁₉₎

Пример 8: В ящике 7 шаров, из которых 4 белых, а остальные черные. Из этого ящика наугад извлекаются 3 шара; т – число извлеченных белых шаров. Найти закон распределения дискретной случайной величины т и вероятность события Х > 1.

Решение.

Возможные значения случайной величины Х - т=0,1,2,3. Соответствующие им вероятности подсчитываем по формуле (17):

Таким образом закон распределения Х:

Х	0	1	2	3
Р

Для проверки правильности построения закона распределения дискретной случайной величины найдем сумму вероятностей:

_, получили 1 значит вычисления верные.

_{Теперь найдем в}ероятность события Х >1:

Ответ: вероятность того, что число белых шаров больше одного равно _.

6. Примеры законов распределения непрерывных случайных величин

1. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке , если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его.

Плотность распределения вероятности равномерно распределенной случайной величины имеет вид:

или (1)

Рис. 1. График плотности равномерного распределения

Функция распределения равномерно распределенной случайной величины имеет вид:

(2)

С равномерным законом распределения имеют дело, когда по условиям испытания или опыта изучают случайную величину Х, которая принимает значения в конечном промежутке и все значения из этого промежутка равновозможны, т.е. ни одно из значений не имеет преимуществ перед другими.

Например:

• время ожидания на остановке автобуса – случайная величина Х – равномерно распределена на отрезке , где т – интервал движения между автобусами;

• округление чисел, при округлении до целых чисел ошибка округления это разность между начальным и округленным значением, и это величина равномерно распределена на полуинтервале .

Числовые характеристики равномерно-распределенной случайной величины:

1. Математическое ожидание

(3)

2. Дисперсия

(4)

3. Среднее квадратическое отклонение

(5)

Пример 1: Интервал движения автобуса 20 минут. Какова вероятность того, что пассажир на остановке будет ждать автобус не более 6 минут?

Решение: Пусть случайная величина Х - время ожидания автобуса, она равномерно распределена на отрезке .

По условию задачи параметры равномерного распределения величины Х:

По определению равномерного распределения в соответствии с формулой (2) функция распределения величины Х будет иметь вид:

Искомую вероятность вычислим по формуле

Т.е.

Ответ: Вероятность того, что пассажир будет автобус не более 6 минут равна 0,3.

Пример 2: Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке . Записать плотность распределения величины Х.

Решение: Поскольку случайная величина Х - равномерно распределена на отрезке , то по условию задачи параметры распределения величины Х:

По определению равномерного распределения в соответствии с формулой (1) плотность распределения величины Х будет иметь вид:

Ответ: .

Пример 3: Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке . Записать функцию распределения величины Х.

Решение: Поскольку случайная величина Х - равномерно распределена на отрезке , то по условию задачи параметры распределения величины Х:

По определению равномерного распределения в соответствии с формулой (2) плотность распределения величины Х будет иметь вид:

Пример 4: Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке . Найти числовые характеристики величины Х.

Решение: Поскольку случайная величина Х - равномерно распределена на отрезке , то по условию задачи параметры распределения величины Х:

По определению равномерного распределения в соответствии с формулами (3), (4) и (5) числовые характеристики величины Х будут следующие: