Розділ 2

Економічний показник Y залежить від трьох факторів. На основі статистичних даних за 25 періодів побудувати лінійну економетричну модель (в тис. грн.), які подані нижче в табл. 2.1:

1. Про валовий випуск продукції Y;

2. Про основні виробничі фонди

3. Про оборотні засоби .

• Оцінити адекватність прийнятої математичної моделі статистичним даним на основі критерію Фішера;

• Якщо математична модель із заданою надійністю адекватна статистичним даним, то використовуючи t-статистику, з надійністю р=0,95 оцінити значимість параметрів регресії;

• Обчислити інтервал довіри для параметрів моделі та прогнозу показника для заданих значень факторів із надійністю р=0,95;

• Обчислити кореляційну матрицю. Використовуючи критерій, з надійністю Р=0,95 оцінити наявність загальної мультиколінеарності. Якщо існує загальна мультиколінеарність, то, використовуючи t-статистику з надійністю р=0,95, виявити пари факторів, між якими існує мультиколінеарність. Якщо всі пари існують, то один із факторів цієї пари виключити з розряду;

• Обчислити показники ефективності, частині коефіцієнти еластичності для точки прогнозу;

• На основі отриманих розрахунків зробити економічний аналіз;

• Побудувати економетричні модель МНК на основі покрокової регресії. Порівняти оцінки параметрів даної економетричної моделі з оцінки параметрів моделі для відповідних даних за методом МНК. Дати змістовне тлумачення оцінок параметрів, зробити висновки.

Розв´язання

Оцінки параметрів моделі знайдемо за МНК. Оператор оцінювання:

Знайдемо матрицю .

Знайдемо матрицю .

t	Y	1			Y*	Y*
1	425,7	1	305,7	92,7	130136,49	39462,39
2	471,7	1	326,7	100,7	154104,39	47500,19
3	510,7	1	348,7	112,7	178081,09	57555,89
4	565,7	1	400,7	128,7	226675,99	72805,59
5	592,7	1	440,7	143,7	261202,89	85170,99
6	618,7	1	520,7	159,7	322157,09	98806,39
7	615,7	1	100,7	125,7	62000,99	77393,49
8	641,7	1	236,7	215,7	151890,39	138414,69
9	554,7	1	179,7	435,7	99679,59	241682,79
10	493,7	1	179,7	590,7	88717,89	291628,59
11	398,7	1	146,7	525,7	58489,29	209596,59
12	685,7	1	527,7	131,7	361843,89	90306,69
13	717,7	1	544,7	145,7	390931,19	104568,89
14	769,7	1	590,7	162,7	454661,79	125230,19
15	846,7	1	675,7	177,7	572115,19	150458,59
16	527,7	1	398,7	140,7	210393,99	74247,39
17	544,7	1	455,7	153,7	248219,79	83720,39
18	590,7	1	470,7	168,7	278042,49	99651,09
19	675,7	1	510,7	183,7	345079,99	124126,09
20	769,7	1	583,7	202,7	449273,89	156018,19
21	854,7	1	668,7	222,7	571537,89	190341,69
22	717,7	1	544,7	145,7	390931,19	104568,89
23	769,7	1	590,7	162,7	454661,79	125230,19
24	846,7	1	675,7	177,7	572115,19	150458,59
25	527,7	1	398,7	140,7	210393,99	74247,39
Сума	15734,5	25	10823,5	4948,5	7243338,35	3013191,85

Табл. 2.1

За допомогою функції МS Excel (МОБР) Знайдемо обернену матрицю

.

T
1	305,7	92,7	93452,49	28338,39	8593,29
2	326,7	100,7	106732,89	32898,69	10140,49
3	348,7	112,7	121591,69	39298,49	12701,29
4	400,7	128,7	160560,49	51570,09	16563,69
5	440,7	143,7	194216,49	63328,59	20649,69
6	520,7	159,7	271128,49	83155,79	25504,09
7	100,7	125,7	10140,49	12657,99	15800,49
8	236,7	215,7	56026,89	51056,19	46526,49
9	179,7	435,7	32292,09	78295,29	189834,49
10	179,7	590,7	32292,09	106148,79	348926,49
11	146,7	525,7	21520,89	77120,19	276360,49
12	527,7	131,7	278467,29	69498,09	17344,89
13	544,7	145,7	296698,09	79362,79	21228,49
14	590,7	162,7	348926,49	96106,89	26471,29
15	675,7	177,7	456570,49	120071,89	31577,29
16	398,7	140,7	158961,69	56097,09	19796,49
17	455,7	153,7	207662,49	70041,09	23623,69
18	470,7	168,7	221558,49	79407,09	28459,69
19	510,7	183,7	260814,49	93815,59	33745,69
20	583,7	202,7	340705,69	118315,99	41087,29
21	668,7	222,7	447159,69	148919,49	49595,29
22	544,7	145,7	296698,09	79362,79	21228,49
23	590,7	162,7	348926,49	96106,89	26471,29
24	675,7	177,7	456570,49	120071,89	31577,29
25	398,7	140,7	158961,69	56097,09	19796,49
Сума	10823,5	4948,5	5378636,65	1907143,15	1363604,65

Табл. 2.2

Визначимо оцінки параметрів моделі:

.

Звідси = ; ;

Економетрична модель має вигляд:

.

Оцінимо адекватність прийнятої математичної моделі статистичним даним на основі критерію Фішера:

; =5952,85869;

15,4085539; .

При ступенях вільності 2 і 22 та рівні значимості а=1-Р=1-0,95=0,05 критичне значення . Оскільки , то модель адекватна статистичним даним.

Проведені розрахунки перевіримо за допомогою інструменту РЕГРЕССИЯ, який автоматично будує базову таблицю дисперсійного аналізу (2.1).

Мал. 2.1 Багатофакторний регресійний аналіз,

виконаний за допомогою інструменту РЕГРЕССИЯ

Діагональні елементи цієї матриці характеризують дисперсії оцінок параметрів моделі:

Знайдемо стандартні оцінки параметрів:

64,635496

0,104166853

0,139889175

t	Y		Y-
1	425,7	528,1259	-102,426	10491,08	-101,254	10252,3827
2	471,7	543,4461	-71,7461	5147,505	-85,9339	7384,63304
3	510,7	560,0331	-49,3331	2433,758	-69,3469	4808,98737
4	565,7	597,4032	-31,7032	1005,091	-31,9768	1022,51785
5	592,7	626,5491	-33,8491	1145,76	-2,83092	8,01411648
6	618,7	682,7623	-64,0623	4103,976	53,38228	2849,66787
7	615,7	395,0666	220,6334	48679,09	-234,313	54902,7614
8	641,7	499,9532	141,7468	20092,17	-129,427	16751,3067
9	554,7	494,2579	60,44211	3653,248	-135,122	18257,9841
10	493,7	517,2712	-23,5712	555,6013	-112,109	12568,3837
11	398,7	485,4124	-86,7124	7519,046	-143,968	20726,6607
12	685,7	683,3158	2,384169	5,68426	53,93583	2909,0739
13	717,7	696,8349	20,86505	435,3503	67,45495	4550,17026
14	769,7	730,3156	39,38437	1551,129	100,9356	10188,0014
15	846,7	789,7452	56,95479	3243,848	160,3652	25717,0009
16	527,7	597,8389	-70,1389	4919,465	-31,5411	994,840905
17	544,7	638,1284	-93,4284	8728,859	8,748364	76,5338803
18	590,7	650,45	-59,75	3570,064	21,07002	443,945534
19	675,7	679,5959	-3,89593	15,17824	50,21593	2521,63928
20	769,7	731,5438	38,15625	1455,899	102,1638	10437,4327
21	854,7	791,7157	62,9843	3967,022	162,3357	26352,8796
22	717,7	696,8349	20,86505	435,3503	67,45495	4550,17026
23	769,7	730,3156	39,38437	1551,129	100,9356	10188,0014
24	846,7	789,7452	56,95479	3243,848	160,3652	25717,0009
25	527,7	597,8389	-70,1389	4919,465	-31,5411	994,840905
Сума	15734,5	15734,5		142868,6		275174,831

Табл. 2.3

Обчислимо довірчі інтервали для параметрів моделі з надійнісю Р=0,95 за формулою:

При а=0,05 і даних ступенях вільності Одержимо:

≤ ≤

174,839969 ≤ ≤ 442,4309226;

≤ ≤ ;

0,45734505 ≤ ≤ 0,888595822;

0,139889175≤ ≤ 0,139889175

-0,14109765 ≤ ≤ 0,438043528;

Визначемо інтервали довіри для прогнозу.

Нехай . Точкова оцінка прогнозу:

613,45713

Знайдемо дисперсію прогнозу за формулою: .

Стандартна помилка прогнозу:

=16,312282

Інтервал довіри прогнозованого рівня валового випуску продукції:

Знайдемо кореляційну матрицю. Нормалізуємо зміні моделі:

Середні значення: ;

Дисперсії: ; 27708,422; 15363,942.

Середньоквадратичні відхилення:

129,31256; 166,45847; .

Розрахуємо елементи кореляційної матриці:

Кореляційна матриця:

Визначник матриці:

При ступені вільності Оскільки , то в масиві існує мультиколінеарність.

t	Y	x1	x2	y-yc	X1-X1C	X2-X2C
1	425,7	305,7	92,7	-203,68	-127,24	-105,24
2	471,7	326,7	100,7	-157,68	-106,24	-97,24
3	510,7	348,7	112,7	-118,68	-84,24	-85,24
4	565,7	400,7	128,7	-63,68	-32,24	-69,24
5	592,7	440,7	143,7	-36,68	7,76	-54,24
6	618,7	520,7	159,7	-10,68	87,76	-38,24
7	615,7	100,7	125,7	-13,68	-332,24	-72,24
8	641,7	236,7	215,7	12,32	-196,24	17,76
9	554,7	179,7	435,7	-74,68	-253,24	237,76
10	493,7	179,7	590,7	-135,68	-253,24	392,76
11	398,7	146,7	525,7	-230,68	-286,24	327,76
12	685,7	527,7	131,7	56,32	94,76	-66,24
13	717,7	544,7	145,7	88,32	111,76	-52,24
14	769,7	590,7	162,7	140,32	157,76	-35,24
15	846,7	675,7	177,7	217,32	242,76	-20,24
16	527,7	398,7	140,7	-101,68	-34,24	-57,24
17	544,7	455,7	153,7	-84,68	22,76	-44,24
18	590,7	470,7	168,7	-38,68	37,76	-29,24
19	675,7	510,7	183,7	46,32	77,76	-14,24
20	769,7	583,7	202,7	140,32	150,76	4,76
21	854,7	668,7	222,7	225,32	235,76	24,76
22	717,7	544,7	145,7	88,32	111,76	-52,24
23	769,7	590,7	162,7	140,32	157,76	-35,24
24	846,7	675,7	177,7	217,32	242,76	-20,24
25	527,7	398,7	140,7	-101,68	-34,24	-57,24
Сума	15734,5	10823,5	4948,5

Табл. 2.4

t	(Y*)2	(X1*)2	(X2*)2	Y*X1*	Y*X2*	X1*X2*
1	2,4809349	0,5843	0,720873413	1,203997	1,33732569	0,649004
2	1,48686596	0,407347	0,615442141	0,778248	0,95659812	0,500698
3	0,84231333	0,256109	0,472916222	0,464461	0,6311447	0,34802
4	0,24250724	0,037513	0,312040847	0,095379	0,27508574	0,108192
5	0,08045949	0,002173	0,191485852	-0,01322	0,12412435	-0,0204
6	0,0068212	0,277959	0,095177238	-0,04354	0,02547986	-0,16265
7	0,01119156	3,98375	0,339666569	0,21115	0,0616555	1,163248
8	0,00907695	1,389835	0,020529731	-0,11232	0,01365091	-0,16892
9	0,3335241	2,314477	3,679382292	0,878598	-1,1077737	-2,91819
10	1,10090607	2,314477	10,0404189	1,596252	-3,3246892	-4,82061
11	3,18228067	2,956983	6,992125771	3,067564	-4,7170867	-4,54704
12	0,18968976	0,32407	0,285586699	0,247937	-0,2327507	-0,30422
13	0,46648396	0,450776	0,177624826	0,458563	-0,2878526	-0,28296
14	1,17749141	0,898218	0,080829358	1,028418	-0,3085059	-0,26945
15	2,82434658	2,126877	0,026663573	2,450926	-0,2744215	-0,23814
16	0,61828637	0,042311	0,213253702	0,161742	0,36311411	0,09499
17	0,4288252	0,018695	0,12738772	-0,08954	0,23372433	-0,0488
18	0,0894729	0,051458	0,055648321	-0,06785	0,07056215	-0,05351
19	0,12830858	0,218223	0,013198279	0,167332	-0,0411516	-0,05367
20	1,17749141	0,820277	0,001474726	0,982786	0,04167105	0,034781
21	3,03611405	2,005989	0,039902363	2,467876	0,34806339	0,28292
22	0,46648396	0,450776	0,177624826	0,458563	-0,2878526	-0,28296
23	1,17749141	0,898218	0,080829358	1,028418	-0,3085059	-0,26945
24	2,82434658	2,126877	0,026663573	2,450926	-0,2744215	-0,23814
25	0,61828637	0,042311	0,213253702	0,161742	0,36311411	0,09499
Cума	25	25	25	20,0344	-6,3196978	-11,4023

Продовження табл. 2.4

Використовуючи t-статистику з надійністю Р =0,95, виявимо пари факторів, між якими існує мультиколінеарність. Спочатку знайдемо матрицю, обернену до матриці r, за допомогою МS Excel.

.

Далі обчислимо частинні коефіцієнти кореляції, скориставшись елементами матриці С:

t- критерії:

t	(Y*)2	(X1*)2	(X2*)2	Y*X1*	Y*X2*	X1*X2*
1	2,4809349	0,5843	0,720873413	1,203997	1,33732569	0,649004
2	1,48686596	0,407347	0,615442141	0,778248	0,95659812	0,500698
3	0,84231333	0,256109	0,472916222	0,464461	0,6311447	0,34802
4	0,24250724	0,037513	0,312040847	0,095379	0,27508574	0,108192
5	0,08045949	0,002173	0,191485852	-0,01322	0,12412435	-0,0204
6	0,0068212	0,277959	0,095177238	-0,04354	0,02547986	-0,16265
7	0,01119156	3,98375	0,339666569	0,21115	0,0616555	1,163248
8	0,00907695	1,389835	0,020529731	-0,11232	0,01365091	-0,16892
9	0,3335241	2,314477	3,679382292	0,878598	-1,1077737	-2,91819
10	1,10090607	2,314477	10,0404189	1,596252	-3,3246892	-4,82061
11	3,18228067	2,956983	6,992125771	3,067564	-4,7170867	-4,54704
12	0,18968976	0,32407	0,285586699	0,247937	-0,2327507	-0,30422
13	0,46648396	0,450776	0,177624826	0,458563	-0,2878526	-0,28296
14	1,17749141	0,898218	0,080829358	1,028418	-0,3085059	-0,26945
15	2,82434658	2,126877	0,026663573	2,450926	-0,2744215	-0,23814
16	0,61828637	0,042311	0,213253702	0,161742	0,36311411	0,09499
17	0,4288252	0,018695	0,12738772	-0,08954	0,23372433	-0,0488
18	0,0894729	0,051458	0,055648321	-0,06785	0,07056215	-0,05351
19	0,12830858	0,218223	0,013198279	0,167332	-0,0411516	-0,05367
20	1,17749141	0,820277	0,001474726	0,982786	0,04167105	0,034781
21	3,03611405	2,005989	0,039902363	2,467876	0,34806339	0,28292
22	0,46648396	0,450776	0,177624826	0,458563	-0,2878526	-0,28296
23	1,17749141	0,898218	0,080829358	1,028418	-0,3085059	-0,26945
24	2,82434658	2,126877	0,026663573	2,450926	-0,2744215	-0,23814
25	0,61828637	0,042311	0,213253702	0,161742	0,36311411	0,09499
Сума	25	25	25	20,0344	-6,3196978	-11,4023

Табл.2.5

Табличне значення t- критерію при n-m=25-3=22 ступенях вільності та рівні значимості a=0,05 дорівнює 2,07. Оскільки > , то змінні у, мультиколінеарні. Змінні у, не мультиколінеарні.

Побудуємо економетричні модель за МНК на основі покрокової регресії.

Враховуючи, що , то на першому етапі побудуємо економетричну модель виду:

Рівняння при визначені має вигляд:

; ,

Запишемо модель

На другому етапі включимо в модель

Параметри знайдемо матричним методом із системи рівнянь:

+ ,

Обчислимо показники ефективності через середні значення змінних.

1. Середня продуктивність:

   1. Основних виробничих фондів

2. Оборотних засобів

2. Гранична продуктивність:

   1. Основних виробничих фондів

2. Оборотних засобів

3. Ступінь ефективності використання:

   1. Основних виробничих фондів

(граничний приріст валового випуску продукції на одиницю основних виробничих фондів незначний і становить …);

2. Оборотних засобів

(граничний приріст валового випуску продукції на одиницю оборотних засобів також незначний і становить …

РОЗДІЛ 3

Варіант 8

На основі статистичних даних показника Y та фактора X знайти оцінки параметрів лінійної регресії, якщо приступити, що стохастична залежність між фактором Х і показником Y має вигляд

Використовуючи критерій Фішера з надійністю р=0,95, оцінити адекватність прийнятої моделі статистичним даним. Якщо з заданою надійністю прийнята математична модель адекватна статистичним даним, то знайти:

1. З надійністю р=0,95 довірчу зону базисних даних;

2. Точкову оцінку прогнозу;

3. З надійністю р=0,95 інтервальну оцінку прогнозу;

4. Оцінку коефіцієнта еластичності для базисних значень;

5. Оцінку індексу кореляції.

Побудувати графіки:

• Фактичних даних;

• Лінії регресії та її довірчу зону;

• Лінії еластичності.