5. Неперервність функції. Точки розриву. Завдання 61-70.

Функція у = f(x), визначена в точці а і в деякому її околі, називається неперервною в цій точці, якщо існують границі справа і зліва у точці а і ці границі рівні між собою і дорівнюють значенню f(a) в точці а, тобто:

lim f(x) = lim f(x) = f(a)

х→а-0 х→а+0

Якщо будь-яка з цих умов не виконується, то точка а називається точкою розриву функції, а функція – розривною.

Функції можуть мати точки розриву першого або другого роду.

Точка а називається точкою розриву першого роду, якщо існує значення функції f(a) в точці а та існують скінченні односторонні границі, але ці границі не рівні між собою, або не дорівнюють значенню функції f(a) в точці а. Всі інші розриви називаються розривами другого роду.

Якщо функція f(x) в точці а має розрив першого роду, то різниця:

h = lim f(x) – lim f(x) = f(a + 0) – f(a – 0) називається стрибком даної

^{x→a+0 x→a-0}

функції в точці а.

Задача 12. Функція у = f(x) задана різними аналітичними виразами для різних областей змінювання незалежної змінної. Знайти точки розриву функції у = f(x), якщо вони існують, і побудувати її графік.

Розв’язання. Дослідити треба точки х₁=0 і х₂=3. В інших точках числової осі функція неперервна, так як в них вона представлена многочленом першого чи другого ступеня.

Знайдемо односторонні границі функції в точці х₁=0 зліва і справа.

lim f(x) = lim x² =(–0)²=0.

^{x→ -0 x→ - 0}

lim f(x) = lim (x+1)=0+1=1.

^{x→ +0 x→ +0}

Односторонні границі зліва і справа існують та скінченні, але ці границі не рівні між собою. Отже, точка х=0 є точкою розриву першого роду.

Стрибок функції в цій точці дорівнює h = f(+0) – f(–0) = 1 – 0 = 1.

Зараз дослідимо другу точку х₂= 3. Знайдемо границю в цій точці зліва:

f(3 – 0) = lim f(x) = lim (x + 1) = 3 – 0 + 1 = 4.

^{x→3-0 x→3-0}

Знайдемо границю в цій точці справа:

Знайдемо значення функції в самій точці х₂=3:

Таким чином, усі умови неперервності в цій точці виконуються, тому функція у точці х₂=3 неперервна. Будуємо графік функції:

Рис.4.

6. Похідна.

Завдання 71-80, 81-90.

Нехай функція y=f(x) визначена в деякому околі точки х і нехай – деяка точка з цього околу, точка хх₀ .

Якщо відношення має границю (ліміт) при хх₀, то ця границя називається похідною функції f(x) в точці х₀ і позначається f΄(x₀). Функція y=f(x) в цьому випадку називається диференційованою в точці х₀. Таким чином

.

Якщо ввести позначення , то визначення похідної запишеться в вигляді

Покладаючи , одержимо ще одну форму запису визначення похідної в точці х=х₀:

Якщо функція f(x) визначена на деякому проміжку і в кожній точці цього проміжку існує похідна, то ця похідна f’(x), очевидно, також функція, визначена на даному проміжку.

Фізичне значення похідної (фізичний зміст похідної)

Нехай функція f(x) визначена в деякому околі точки х₀ і . Відношення , яке дорівнює зміні (росту) змінної y на відрізку , віднесеному до одиниці змінної х, можна назвати величиною середньої швидкості зміни (росту) змінної у на відрізку відносно змінної х.

Границю якщо вона існує, тобто похідну f’(x) називають величиною миттєвої швидкості зміни змінної у відносно х в точці х_0.