Площина визначається:

а) прямою і точкою, яка не лежить на ній;

б) трьома точками, які не лежать на одній прямій;

в) двома паралельними прямими;

г) двома прямими, які перетинаються.

Взаємне розміщення прямої і площини:

а) якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині;

б )площина і пряма, яка не лежить на ній, або не перетинаються, або перетинаються одній точці.

РОЗГЛЯНЕМО ПРИКЛАДИ

Задача №1.

Точки А, В, С, D не лежать на одній площині. Доведіть, що прямі АВ і CD не перетинаються.

Розв’язання.

Доведемо методом від супротивного. Припустимо, що АВ і CD перетинаються, тоді за аксіомою С₃ через прямі АВ і CD можна провести площину. Отже, точки А,В,С,D лежать в одній площині, що суперечить умові. Таким чином, прямі АВ і СD не перетинаються.

Задача №2.

Доведіть, що через будь-які дві різні точки простору можна провести пряму, і до того ж тільки одну.

Розв’язання.

Нехай А і В дві довільні точки простору. Через них і будь-яку третю точку проведемо площину . У цій площині через точки А і В можна провести єдину пряму а (аксіома 2 планіметрії).

Припустимо, що через точки А і В у просторі проходить ще пряма а₁, відмінна від а. Її точки А і В лежать у площині , тому і пряма а₁ лежить в  (аксіома С₃). Таким чином через точки А і В у площині  проходять дві різні прямі а і а₁ . Це суперечить аксіомі 2 планіметрії. Отже, через точки А і В у просторі можна провести тільки одну пряму.

З устрічаються також задачі на побудову простіших перерізів, тому необхідно вміти розв’язувати дві опорні задачі:

1. будувати лінію перетину двох площин;

2. б удувати точки перетину прямої і площини.

Д ля прикладу розглянемо задачу, в якій система запитань дає спосіб її розв’язання.

Задача №3.

Точка М – середина ребра АА₁ куба АВСDA₁B₁C_!D₁.

П обудуйте точку К перетину прямої D₁M з площиною основи АВСD. Обчисліть довжину відрізка КD₁, якщо ребро куба дорівнює 2 см.

Розв’язання.

Основні етапи:

а ) відмітити точку М і побудувати пряму D₁М;

б) назвати площину бічної грані, якій належить пряма D₁М – площина АА₁D₁D;

в) назвати пряму, яка лежить у знайденій бічній грані і площині основи АВCD – пряма AD;

г) побудувати шукану точку – К, точку перетину прямих MD₁ і AD;

д) обчислити довжину відрізка КD₁:

KD₁=KM+MD₁.

За умовою задачі AA₁=2cм, а точка М – середина АА₁, тому

АМ=МА₁= = =1см.

Для знаходження довжини відрізка МD₁ розглянемо прямокутний трикутник МА₁D₁ (A=90⁰). За теоремою Піфагора:

М D₁= = = (см).

Для знаходження довжини відрізки КМ розглянемо інший прямокутний

трикутник КМА. КМА = МА₁D₁ – за другою ознакою рівності трикутників:

КАМ =МА₁D₁ =90⁰; МА₁ =МА, так як точка М – середина АА₁ (за умовою);

КМА=А₁МD₁ – як вертикальні.

З рівності даних трикутників слідує рівність їх сторін.

О тже, КМ=MD₁= см і КD₁ = 2MD₁ = 2 см.

Відповідь: 2 см.

З адачі на аксіоми стереометрії.

1. Користуючись зображенням куба ABCDA₁B₁C₁D₁, вкажіть точки, які:

а ) не належать передній грані;

б) належать верхній грані;

в) належать грані ABCD;

г) не належать грані A₁B₁ВА .

Рис.2

2. Користуючись зображенням куба ABCDA₁B₁C₁D₁ вкажіть:

а) спільні точки верхньої і передньої граней; б) пряму перетину площин задньої і нижньої граней;

в) спільні точки площин граней ABВ₁A₁ і A₁B₁C₁D₁ ;

г) пряму перетину площин граней A₁B₁C₁D₁ і ВВ₁С₁С.

3. Користуючись зображенням куба АВСDA₁B₁ C₁ D₁,

вкажіть, яку площину визначають прямі:

а) АВ і АD;

б) BC і CC₁;

в) DC і СС₁;

г) A₁B₁ і B₁A.

4. Користуючись зображенням куба ABCDA₁B₁C₁D₁, доведіть, що можна провести площину через прямі:

а) АС і СС₁;

б) AD і DC₁.

5. Щоб поверхня розпилу чотирикутної балки (рис.3) була плоскою, столяр зробив так: позначив на ребрі балки точку А і провів від неї в потрібному напрямі два відрізки АВ і АС у суміжних гранях балки, потім направив пилку по намічених відрізках . Поясніть, чому повинна утворитися плоска поверхня розпилу?

6. Точки А, В, С лежать у кожній з двох різних площин. Доведіть, що ці точки лежать на одній прямій.

7. Дано дві різні прямі, які перетинаються в точці А. Доведіть, що всі прямі, які перетинають обидві дані прямі й не проходять через

точку А, лежать в одній площині.

8. Дано чотири точки, що не лежать в одній площині. Скільки можна провести різних площин, які проходять через три з цих точок? Відповідь поясніть.

9. Доведіть, якщо вершини трикутника АВС належать деякій

площині , то трикутник АВС лежить в цій площині.

10. Доведіть, що чотирикутник АВСD лежить в одній площині, якщо його діагоналі АС і BD перетинаються.