К онтрольні запитання

1. Два тіла рівні. Чи рівновеликі вони?

2. Два тіла рівновеликі. Чи рівні вони?

3. Сформулюйте основні властивості об’єму?

4. Що таке 1см³, 1м³, 1мм³, 1дм³, 1км³?

5. Чому дорівнює об’єм прямокутного паралелепіпеда? Доведіть це.

6. Як знайти об’єм довільного паралелепіпеда? Запишіть формулу для знаходження об’єму паралелепіпеда.

7. Чому дорівнює об’єм довільної призми?

8. Чому дорівнює об’єм похилої призми?

9. Вкажіть, які з наведених тверджень правильні, а які – неправильні:

1. об’єм будь-якої призми дорівнює добутку площі основи на бічне ребро;

2. об’єм будь-якої призми дорівнює добутку площі перпендикулярного перерізу на висоту;

3. об’єм прямого паралелепіпеда дорівнює добутку площі бічної грані на її відстань від паралельної грані;

4. об’єм правильної призми дорівнює добутку її бічної поверхні на апофему многокутника основи.

Тема: Обчислення об’єму піраміди

М ета заняття: формування вмінь студентів знаходити об’єм піраміди та зрізаної піраміди.

ОБ’ЄМ ПІРАМІДИ
Довільна піраміда	Правильна піраміда	Довільна зрізана піраміда	Правильна зрізана піраміда
де S0 – площа основи, H – висота піраміди	де S0 – площа основи, H – висота піраміди	де S – площа більшої основи, S1 – площа меншої основи h – висота зрізаної піраміди	де S – площа більшої основи, S1 – площа меншої основи h – висота зрізаної піраміди

Р озглянемо приклад Задача

Бічні ребра трикутної піраміди а, а двогранний кут при основі дорівнює 45^о. Знайдіть об’єм піраміди.

Розв’язання

1 спосіб

Нехай SABC – дана піраміда (рис.24,а ); ASB = BSC = CSA = 90⁰ ; SA = SB = SC = b.

SABC – правильна піраміда, оскільки АВ = ВС = АС = ,

тобто в основі лежить правильний трикутник АВС і вершина S проектується в точку О – центр трикутника АВС.

Рис.24 (а)

Із маємо: .

Отже, . Відповідь. .

11 спосіб

Перевернемо піраміду SABC (рис.24,а), прийнявши за основу грань SAB (рис.24,б), тоді маємо:

.

Рис. 24 (б)

Відповідь. .

ЗАДАЧІ

1. Многокутники, що лежать в основах двох пірамід з рівними висотами, подібні з коефіцієнтом подібності k. Чи правильно, що відношення об’ємів цих пірамід дорівнює k ?

2. Основою чотирикутної піраміди є паралелограм. Чи поділяє її на рівновеликі частини площина, що проходить через вершину піраміди і одну з діагоналей основи ?

3. Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, кожне ребро якої дорівнює 1 дм.

4. Знайдіть об’єм піраміди Хеопса, площа основи якої 5,3 га, а висота 147 м.

5. У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 3 см, а бічне ребро – 5 см. Знайдіть об’єм піраміди.

6. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 4 см, висота піраміди дорівнює см. Знайдіть об’єм піраміди.

7. Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює 5 см, а висота – 4см. Знайдіть об’єм піраміди.

8. За стороною а і бічним ребром b знайдіть об’єм правильної піраміди:

1. трикутної;

2. чотирикутної;

3. шестикутної.

9. Сторона основи правильної шестикутної піраміди а, а двогранний кут при основі дорівнює 45^о. Знайдіть об’єм піраміди.

10. Знайдіть об’єм правильного тетраедра, ребро якого дорівнює а.

11. Знайдіть об’єм тетраедра, вершини якого – точки Р(1;2;6), О(0;0;0;), A(2;0;0), В(0;5;0).

12. Основа піраміди – трикутник із сторонами 13 см, 14 см і 15 см. Двогранні кути при кожному ребрі основи дорівнюють по 45^о. Знайдіть об’єм.

13. Основа піраміди – рівнобічна трапеція із сторонами 4 см, 7 см, 7 см і 10 см, усі бічні грані нахилені до площини основи під кутом 60^о. Знайдіть об’єм.

14. Площі поверхонь двох подібних пірамід відносяться, як m:n. Як відносяться їх об’єми?

15. Знайдіть об’єм горища за розмірами даними на рис.25.

16. Рис.25

    Знайдіть об’єм правильної чотирикутної зрізаної піраміди, якщо бічне ребро дорівнює 3 см, а сторони основ 5 см і 1 см.

17. Одне ребро трикутної піраміди дорівнює 4 см, кожен з інших 3 см, Знайдіть об’єм піраміди.

18. Знайдіть об’єм правильної чотирикутної зрізаної піраміди, якщо бічне ребро дорівнює 3 см, а сторони основ – 5 см і 11 см.

19. Площі основ зрізаної піраміди дорівнюють 245 см² і 80 см², а висота повної піраміди – 35 см. Знайдіть об’єм зрізаної піраміди.

20. Об’єм зрізаної піраміди дорівнюють 1720 см³, її висота – 20см, відповідні сторони двох основ відносяться, як 5 : 8. Знайдіть площі основ зрізаної піраміди.

21. У трикутній зрізаній піраміді висота дорівнює 10 см, сторони однієї основи – 27 см, 29 см, 52 см, а периметр другої основи дорівнює 72 см. Знайдіть об’єм зрізаної піраміди.

22. Знайдіть об’єм правильної трикутної зрізаної піраміди, якщо бічне ребро дорівнює l, а сторони основ дорівнюють а і b (a >b).

23. У правильній зрізаній чотирикутній піраміді сторони нижньої і верхньої основ дорівнюють a i b, а двогранний кут при ребрі нижньої основи дорівнює α. Знайдіть об’єм піраміди.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Чому дорівнює об’єм будь-якої піраміди?

2. Запишіть формулу для обчислення об’єму піраміди. Виведіть її.

3. Чи рівновеликі дві піраміди з рівними висотами, якщо їх основами є чотирикутники з відповідно рівними основами?

4. Запишіть формулу, за якою можна обчислити об’єм зрізаної піраміди.

5. Як відносяться об’єми подібних тіл?

Тема: Обчислення об’єму циліндра

Мета заняття: формування вмінь студентів знаходити об’єми циліндрів.

ОБ’ЄМ ЦИЛІНДРА

Н R – радіус основи, Н – висота циліндра Рис. 26

Р ОЗГЛЯНЕМО ПРИКЛАД

Задача

Знайдіть об’єм циліндра, вписаного у правильну шестикутну призму, кожне ребро якої дорівнює α.

Розв’язування

Радіус циліндра збігається з радіусом кола, вписаного в основу призми. Отже, Висота циліндра збігається з висотою призми. Висота правильної призми дорівнює бічному ребру. В даному випадку Н = а. Визначимо об’єм циліндра:

Відповідь.

ЗАДАЧІ

1. Знайдіть об’єм тіла, утвореного при обертанні квадрата навколо його сторони, яка дорівнює а.

2. Осьовий переріз циліндра – квадрат зі стороною а. Знайдіть об’єм циліндра.

3. Осьовий переріз циліндра – квадрат, діагональ якого дорівнює d. Знайдіть об’єм циліндра.

4. Знайдіть об’єм циліндра, якщо розгортка його бічної поверхні – квадрат зі стороною а.

5. Знайдіть об’єм циліндра, висота якого дорівнює 8 см, а радіус 5 см.

6. Радіус основи циліндра дорівнює R, площа осьового перерізу – S. Знайдіть об’єм циліндра.

7. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює d і нахилена до площини основи під кутом α. Знайдіть об’єм циліндра.

8. Діагональ осьового перерізу циліндра утворює з твірною кут α. Знайдіть об’єм циліндра, якщо радіус основи циліндра дорівнює R.

9. Діагональ осьового перерізу циліндра утворює з основою кут α. Знайдіть об’єм циліндра, якщо його висота дорівнює Н.

10. 25 м мідного дроту мають масу 100,7 г. Знайдіть діаметр дроту (густина міді 8,94 г/см³).

11. Алюмінієвий дріт діаметром 4 мм має масу 6,8 кг. Знайдіть довжину дроту (густина алюмінію 2,6 г/см³).

12. Свинцева труба (густина свинцю 11,4 г/см³) з товщиною стінок 4 мм має внутрішній діаметр 13 мм. Яка маса 25 м цієї труби?

13. Яку кількість нафти (в тонах ) вміщує циліндрична цистерна діаметром 18 м і висотою 7 м, якщо густина нафти 0,85 г/см³?

14. Знайдіть площу круглої плями на поверхні моря, утвореної кубометром вилитої нафти, якщо товщина плівки 1 мм.

15. Скільки квадратних метрів паперу в рулоні, висота якого 85 см, а радіуси 45 см і 2 см? Товщина паперу 0,1 мм.

16. Насос, який подає воду в паровий котел, має два водяних циліндри. Діаметри циліндрів 80 мм, а хід поршня 150 мм. Чому дорівнює годинна продуктивність насоса, якщо кожний поршень робить 50 робочих ходів за хвилину?

17. У циліндрі, паралельно його осі, проведено площину. Вона перетинає основу по хорді, яку видно із центра цієї основи під кутом α. Діагональ утвореного перерізу дорівнює d і нахилена до основи під кутом . Знайдіть об’єм циліндра.

18. Площа осьового перерізу циліндра дорівнює S, кут між діагоналлю перерізу і площиною основи дорівнює α. Знайдіть об’єм циліндра.

19. Залізобетонна панель має розміри 600×120×22 м. По всій її довжині 6 циліндричних отворів діаметром 14 см. Знайдіть масу панелі, якщо густина залізобетону 2,5 m/м³.

20. Соснова колода 18 м має діаметри 500 мм і 400 мм. Знайти об’єм колоди.

21. Знайдіть об’єм частини циліндра, зображеної на рис. 27.

22. 

    Рис. 27

    Рис. 28

    28

    Знайдіть об’єм двометрового прута, форму і розміри поперечного перерізу якого (в мм) зображено на рис.