Критерии оптимальности
Правильный выбор критериев играет существенную роль в выборе оптимального решения. В теории принятия решений не найдено общего метода выбора критериев оптимальности. В основном руководствуются опытом или рекомендациями.[4] Наиболее изучен вопрос для финансово-экономических задач, в которых зачастую применяется единственный критерий — максимум показателя эффективности, прибыли, либо максимум рентабельности, либо минимум срока окупаемости и т. п. Применение для технических задач только одного критерия (например, максимум уровня безопасности, минимум потребления энергии, минимум экологического ущерба) часто приводит к абсурдным результатам, выходящим за область допустимых решений, поэтому обычно сочетается с экономическими критериями (например, минимум стоимости или максимум дохода).
Большие сложности вызывают «неисчисляемые» критерии оптимальности, которые касаются, например, гуманитарных вопросов, художественного впечатления, изменения ландшафта и т. п. (например, максимум удобства, красоты). Для учёта таких критериев могут применяться экспертные оценки.
Наиболее разработаны методы однокритериальной оптимизации, в большинстве случаев позволяющие получить однозначное решение. В задачах многокритериальной оптимизации абсолютно лучшее решение выбрать невозможно (за исключением частных случаев), так как при переходе от одного варианта к другому, как правило, улучшаются значения одних критериев, но ухудшаются значения других. Состав таких критериев называется противоречивым, и окончательно выбранное решение всегда будет компромиссным. Компромисс разрешается введением тех или иных дополнительных ограничений или субъективных предположений. Поэтому невозможно говорить об объективном единственном решении такой задачи.
Часто многокритериальную задачу сводят к однокритериальной применением «свёртки» критериев в один комплексный, называемый целевой функцией (или функцией полезности). Например, в конкурсных процедурах выбора подрядчиков и поставщиков целевая функция рассчитывается на основе балльных критериев. В ряде случаев успешно применяются ранжирование и последовательное применение критериев оптимальности, метод анализа иерархий.
Иногда общим методом для многокритериальных задач называют оптимальность по Парето[5], которое позволяет найти ряд «неулучшаемых» решений, однако этот метод не гарантирует глобальной оптимальности решений. Менее известна «оптимальность по Слейтеру».
7.Обобщенный алгоритм моделирования и оптимизации.
8.Метод не определенных множителей Лагранжа
Метод
множителей Лагранжа,
метод нахождения условного
экстремума
функции
,
где
,
относительно
ограничений
,
где
меняется
от единицы до
.
Описание метода
Составим
функцию
Лагранжа
в виде линейной
комбинации
функции
и
функций
,
взятых с коэффициентами, называемыми
множителями
Лагранжа —
:
где
.
Составим систему из
уравнений,
приравняв к нулю частные
производные
функции Лагранжа
по
и
.Если полученная система имеет решение относительно параметров
и
,
тогда точка
может
быть условным экстремумом, то есть
решением исходной задачи. Заметим, что
это условие носит необходимый, но не
достаточный характер.
Обоснование
Нижеприведенное обоснование метода множителей Лагранжа не является его строгим доказательством. Оно содержит эвристические рассуждения, помогающие понять геометрический смысл метода.
Двумерный случай
Линии
уровня
и
кривая
.
Пусть
требуется найти экстремум некоторой
функции двух переменных
при
условии, задаваемом уравнением
.
Мы будем считать, что все функции
непрерывно дифференцируемы, и данное
уравнение задает гладкую кривую
на
плоскости
.
Тогда задача сводится к нахождению
экстремума функции
на
кривой
.
Будем также считать, что
не
проходит через точки, в которых градиент
обращается
в
.
Нарисуем
на плоскости
линии
уровня
функции
(то
есть кривые
).
Из геометрических соображений видно,
что экстремумом функции
на
кривой
могут
быть только точки, в которых касательные
к
и
соответствующей линии уровня совпадают.
Действительно, если кривая
пересекает
линию уровня
в
точке
трансверсально
(то есть под некоторым ненулевым углом),
то двигаясь по кривой
из
точки
мы
можем попасть как на линии уровня,
соответствующие большему значению
,
так и меньшему. Следовательно, такая
точка не может быть точкой экстремума.
Тем самым,
необходимым условием экстремума в нашем
случае будет совпадение касательных.
Чтобы записать его в аналитической
форме, заметим, что оно эквивалентно
параллельности градиентов
функций
и
в
данной точке, поскольку вектор градиента
перпендикулярен касательной к линии
уровня. Это условие выражается в следующей
форме:
где
—
некоторое число, отличное от нуля, и
являющееся множителем Лагранжа.
Рассмотрим
теперь функцию
Лагранжа
, зависящую от
и
:
Необходимым
условием ее экстремума является равенство
нулю градиента
.
В соответствии с правилами дифференцирования,
оно записывается в виде
Мы получили
систему, первые два уравнения которой
эквивалентны необходимому условию
локального экстремума (1), а третье —
уравнению
.
Из нее можно найти
.
При этом
,
поскольку в противном случае градиент
функции
обращается
в нуль в точке
,
что противоречит нашим предположениям.
Следует заметить, что найденные таким
образом точки
могут
и не являться искомыми точками условного
экстремума — рассмотренное условие
носит необходимый, но не достаточный
характер. Нахождение условного экстремума
с помощью вспомогательной функции
и
составляет основу метода множителей
Лагранжа, примененного здесь для
простейшего случая двух переменных.
Оказывается, вышеприведенные рассуждения
обобщаются на случай произвольного
числа переменных и уравнений, задающих
условия.
На основе метода множителей Лагранжа можно доказать и некоторые достаточные условия для условного экстремума, требующие анализа вторых производных функции Лагранжа.
9.
10.
Метод штрафных функций