Ряд Фурье

Обычно разложению в ряд Фурье подвергаются периодические сигналы и сигналы конечной длительности. При этом оговаривается временной интервал, в котором строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается нулевым. Ряд Фурье будем использовать при дискретном преобразовании Фурье.

Ряд Фурье имеет синусно-косинусную форму

Если функция является нечетной функцией, то все коэффициенты будут равны нулю, и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только косинусные слагаемые. Если же функция четная, то нулю будут равны коэффициенты и в формуле ряда Фурье останутся только синусные слагаемые

Вещественная форма ряда Фурье:

Некоторые неудобства синусно-косинусной формы ряда Фурье заключаются в том, что для каждой гармоники существуют и синус и косинус. Если воспользоваться формулами тригонометрического преобразования, сумму двух слагаемых можно трансформировать в косинус той же частоты, но с иной амплитудой и некоторой начальной фазой:

Если четная функция, то фаза может принимать только значения 0 и . Если она нечетная, то фаза может принимать только значения

Комплексная форма ряда Фурье:

Данная форма предоставления ряда Фурье наиболее употребима в радиотехнике. Она получается из вещественной формы путем представления косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент. Такое представление косинуса вытекает из формулы Эйлера, которая имеет следующий вид:

Применив данной преобразование к вещественной форме ряда Фурье, получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями:

Компоненты со знаком «-» будем трактовать как показатели или члены ряда с отрицательными номерами. При этом, будем считать нулевым номером. В результате этого, комплексная форма ряда Фурье примет вид:

, где

- коэффициенты ряда Фурье в комплексной форме

Комплексные коэффициенты ряда связаны с амплитудами и фазами следующими соотношениями:

Связь коэффициента с коэффициента и из синусно-косинусной формы ряда Фурье выглядит следующим образом:

Тогда получим формулу непосредственного расчета коэффициента

Если четная функция, то коэффициенты ряда будут вещественными. Если функция нечетная, то коэффициенты ряда окажутся мнимыми

Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье называют амплитудным спектром, а совокупность их фаз называют фазовым спектром (амплитудо-частотные и фазо-частотные характеристики устройств обработки сигнала отличаются от указанных характеристик)

Если сигнал вещественный, то его амплитудный и фазовый спектры обладают соответственно четной и нечетной симметрией:

И коэффициенты комплексного ряда Фурье

Связь между аналоговыми, дискретными и цифровыми сигналами

Исходным сигналом является непрерывный сигнал .

Последовательность чисел, представляющая сигнал при цифровой обработке, называется дискретным рядом. Числа, составляющие последовательность, являются значениями сигнала в отдельные (дискретные) моменты времени и называются отсчетами (выборками) сигнала.

Как правило, отсчеты берутся через равные промежутки времени . называется периодом дискретизации. Еще могут называться шагом дискретизации или интервалом дискретизации

Величина, обратная периоду называется частотой дискретизации

Соответствующая ей круговая частота:

Представление сигнала в дискретном виде может вести к потери информации, содержащейся в сигнале. Но существует класс аналоговых сигналов, в которых такой потери не происходит

Процесс аналогового сигнала в последовательность отсчетов называется дискретизацией, а результат такого преобразования – дискретным сигналом

При обработке сигнала в вычислительных устройствах, его отсчеты представляются в виде двоичных чисел, которые имеют ограничение по числу разрядов

Процесс преобразования отсчетов сигнала в числа называется квантованием по уровню. Возникающие при этом ошибки округления называются ошибками или шумами квантования

Сигнал, дискретный во времени, но не квантованный по уровню, называется дискретным сигналом

Сигнал, дискретный во времени и квантованный по уровню называется цифровым сигналом