Тема 2: Линейные нормированные пространства

V3

Гельдер теңсіздігі:

1

( )

1

( )

1

( )

0

≤ + ( )

0

≤ + ( )

0

≤ +

0

|(x,y)| ≥ ||x|| ||y||

0

|(x,y)| ≥ ||x|| + ||y||

V3

Минковский теңсіздігі:

1

≤ + ( )

1

≤ + ( )

1

≤ + ( )

0

( )

0

( )

0

( )

0

|(x,y)| ≥ ||x|| ||y||

0

|(x,y)| ≥ ||x|| + ||y||

V3

ЕгерХ – банах кеңістігі болса, онда

1

Х – сызықты кеңістік

1

Х –те кез келген фундаменталь (іргелі) тізбек жинақталатын да болады

1

Х – метрикалық та болады

0

Х- гильберт кеңістігі де болады

0

Х – Евклид кеңістігі де болады

0

Х- ақырсыз өлшемді кеңістік те болады

0

Х- ақырлы өлшемді кеңістік те болады

0

Х- толық емес болады

V3

Егер Х – банах кеңістігі болса, онда

1

Ол кеңістікте енгізілген шарлар принципі орындалады

1

Х –те кез келген фундаменталь (іргелі) тізбек жинақталатын да болады

1

Х – толық метрикалық кеңістік те болады

0

Х- гильберт кеңістігі де болады

0

Х – Евклид кеңістігі де болады

0

Х- ақырсыз өлшемді кеңістік те болады

0

Х- ақырлы өлшемді кеңістік те болады

0

Х- толық емес болады

V3

C[0;1] кеңістігінде шарында жататын элементтер

1

0,3cos(t)

1

sin (t)

1

t/5

0

cos (t)-10

0

t+10

0

2 - sin (5t)

0

2t

0

2 + t

V3

C[0;1] кеңістігінде шарында жататын элементтер

1

0,3(t+1)

1

sin (t)cos(t)

1

(t+1)/3

0

cos (t)-10

0

0.3t+10

0

3t - sin (5t)

0

2t

0

2 + t

V3

Егер X нақты сызықты кеңістік болса, онда x,y,z X, λ , μ R¹ үшін:

1

( x + y) +z = x + ( y + z)

1

(λ + μ) x= λx + μx

1

x + y = y +x

0

x + y < y +x

0

x + y > y +x

0

(λμ)x ≠ λ(μx)

0

1∙x =0

0

0 + x = -x

V3

Егер X нақты сызықты кеңістік болса, онда x,y,z X, λ , μ R¹ үшін:

1

(λμ)x = λ(μx)

1

X-те нөлдік элемент бар: θ + x = x ( xХ)

1

1∙x = x ( xХ)

0

x + y < y +x

0

x + y > y +x

0

( x + y) +z ≠ x + ( y + z)

0

x + y ≠ y +x

0

(λ + μ) x≠ λx + μx

V3

Егер || x || норма болса, онда

1

|| x || ≥ 0 және || x || = 0 теңдігі x = 0 болғанда ғана орындалады

1

|| λ x || = |λ | ∙ || x ||

1

|| x + y|| ≤ || x || + || y ||

0

|| x || < 0

0

|| λ x || = |5 λ | ∙ || x ||

0

|| x + y|| > || x || + || y ||

0

x X λ R¹ : || λ x || > |λ | ∙ || x || ,

0

|| λ x || < |λ | ∙ || x ||

V3

Егер || x || норма болса, онда

1

|| x ||  max{||x+y||, ||x-y||}

1

|| λ x || = |λ | ∙ || x ||

1

|| x - y||≥ | || x || - || y || |

0

|| x || < 0 болатындай х элементі бар

0

|| λ x || = |5 λ | ∙ || x ||

0

|| x + y|| > || x || + || y ||

0

x X λ R¹ : || λ x || > |λ | ∙ || x || ,

0

|| λ x || < |λ | ∙ || x ||

V3

Егер X кеңістікте || x || норма берілсін. Егер:

1

|| x_n -x|| 0 (n) болса, || x_n ||||x|| (n) болады

1

|| _n -|| 0 және || x_n -x|| 0 (n) болса, || _nx_n-x ||0 (n) болады

1

|| x_n -x|| 0 (n) болса, онда || x_n || шенелген болады.

0

|| x_n ||||x|| (n) болса, || x_n -x|| 0 (n) болады

0

|| x_n -x|| 0 (n) болса, || x_n ||0 (n) болады

0

|| x + y|| > || x || + || y ||

0

x X λ R¹ : || λ x || > |λ | ∙ || x || ,

0

|| x_n || шенелген болса, онда || x_n -x|| 0 (n) болады.

V3

Егер { x_n } X тізбегі X сызықты кеңістікте жинақталса( x_n → a , n → ∞ ), онда ол

1

шенелген

1

жалғыз ғана a-ға ұмтылады

1

Әрбір ε >0 санына n ≥ N(ε) үшін || x_n – a || < ε болатындай N(ε) >0 табылады

0

Шенелмеген

0

x_n → b , n → ∞ болатындай b ≠ a , b X табылуы мүмкін

0

Әрбір натурал n =1,2,… үшін ε > 0 табылып, || x_n – a || > ε болады

0

а ешқандай аймағында { x_n } тізбегінің мүшелері болмайды.

0

{ x_n } қандай да бір тізбекшесі а-ға жинақталмауы мүмкін.

V3

x(t)= элементінің C[0;1] кеңістігіндегі нормасы жататын аралықтар

1

[-1;1]

1

[ 0; 2]

1

[0,5; 1]

0

[-1; 0)

0

[2; 4]

0

[3; 5]

0

(-2; -1)

0

(-0,5; 0,5)

V3

x(t)= элементінің C[-2;4] кеңістігіндегі нормасы жататын аралықтар:

1

[-20; 20]

1

[ 0; 16]

1

[0,5; 18]

0

[-1; 0]

0

[20; 24]

0

[3; 5]

0

(-2; -1)

0

(-0,5; 0,5)

V3

x(t)= t + 5 элементінің C[0;1] кеңістігіндегі нормасы жататын аралықтар :

1

[- 6; 6]

1

[ 0; 10]

1

[5; 7]

0

[-1; 0]

0

[2; 3]

0

[3; 5]

0

(-2; -1)

0

(-0,5; 0,5)

V3

x(t)= t -7 элементінің C1 [0;1] үзіліссіз дифференциалданатын функциялар кеңістігіндегі нормасы жататын аралықтар :

1

[- 8; 8]

1

[ 0; 10]

1

[5; 10]

0

[-8; 0]

0

[2; 3]

0

[3; 5]

0

(-2; -1)

0

(-1; 1)

V3

x(t)= 2t +5 элементінің C1 [0;1] үзіліссіз дифференциалданатын функциялар кеңістігіндегі нормасы жататын аралықтар :

1

[-9; 9]

1

[ 0; 10]

1

[5; 9]

0

[-1; 0]

0

[10; 15]

0

[3; 5]

0

(-2; -1)

0

(-1; 1)

V3

x(t)= t элементінің L1 [-1;1] кеңістігіндегі нормасы жататын аралықтар :

1

[- 1; 1]

1

[ 0; 2]

1

[1; 2]

0

[-1; 0]

0

[2; 3]

0

[3; 5]

0

(-2; -1)

0

(-0,5; 0,5)

V3

x(t)= 3t элементінің L1 [-1;1] кеңістігіндегі нормасы жататын аралықтар :

1

[- 3; 3]

1

[ 0; 3]

1

[3; 7]

0

[-1; 0]

0

[4; 8]

0

[-3; 0]

0

(-2; -1)

0

(-1; 1)

V3

x(t)= t элементінің L2 [-1;1] кеңістігіндегі нормасы жататын аралықтар :

1

[- 2; 2]

1

[ 0; 2]

1

[1; 3]

0

[-1; 0]

0

[4; 8]

0

[-3; 0]

0

(-2; -1)

0

(-1; 1)

V3

x(t)= t элементінің L2 [0;1] кеңістігіндегі нормасы жататын аралықтар :

1

[- 1; 1]

1

[ 0; 2]

1

[0,4; 1]

0

[-1; 0]

0

[4; 8]

0

[-3; 0]

0

(-2; -1)

0

(6; 9)

V3

x= (1, ½,1/4, 1/8, …) элементінің кеңістігіндегі нормасы жататын аралықтар :

1

[- 3; 3]

1

[ 0; 3]

1

[1; 7]

0

[-1; 0]

0

[4; 8]

0

[-3; 0]

0

(-2; -1)

0

(-1; 1)

V3

x= ( 1/3, 1/9, 1/27, …) элементінің кеңістігіндегі нормасы жататын аралықтар:

1

[- 1; 1]

1

[ 0; 1]

1

[0,5; 1]

0

[-1; 0]

0

[2; 4]

0

[-3; 0]

0

(-2; -1)

0

(5; 7)

V3

x= (2, -2, 2, -2, 2 , …) элементінің m барлық шенелген тізбектер кеңістігіндегі нормасы жататын аралықтар:

1

[- 2; 2]

1

[ 0; 3]

1

[1; 4]

0

[-1; 0]

0

[4; 8]

0

[-3; 0]

0

(-2; -1)

0

(-1; 1)

V3

Сызықтық кеңістік болатын жиындар:

1

[a; b]-да үзіліссіз функциялар

1

R^m

1

Барлық жинақталатын сандық тізбектер жиыны

0

Дәрежесі k =2 болатын көпмүшелер жиыны

0

[0; 1] -де үзіліссіз, x( 0 ) =1 шартын қанағаттандыратын функциялар жиыны

0

[a; b] –да монтонды функциялар жиыны

0

[0; 1] –да үзіліссіз, шартын қанағаттандыратын функциялар жиыны

0

x’ (t ) =1 дифференциалдық теңдеуінің шешімдер жиыны

V3

Сызықтық кеңістік болатын жиындар:

1

[a; b]-да анықталған ақырлы вариациялы функциялар жиыны

1

{x=(x₁,x₂) | x₁R, x₂R} жиыны

1

Барлық нөлге жинақталатын сандық тізбектер жиыны

0

Дәрежесі k =2 болатын көпмүшелер жиыны

0

[0; 1] -де үзіліссіз, x( 0 ) =1 шартын қанағаттандыратын функциялар жиыны

0

[a; b] –да монтонды функциялар жиыны

0

[0; 1] –да үзіліссіз, шартын қанағаттандыратын функциялар жиыны

0

x’ (t ) =1 дифференциалдық теңдеуінің шешімдер жиыны

V3

Сызықтық кеңістік болатын жиындар:

1

[a; b]-да анықталған барлық абсолют үзіліссіз функциялар жиыны

1

{x=(x₁,x₂, x₃) | x₁R, x₂R, x₃R} жиыны

1

Барлық шенелген сандық тізбектер жиыны

0

Туындысы 1-ден аспайтын функциялар жиыны

0

[0; 1] -де үзіліссіз, x( 0 ) =0,5 шартын қанағаттандыратын функциялар жиыны

0

[a; b] –да кемімелі функциялар жиыны

0

[0; 1] –да үзіліссіз және теріс мәндер қабылдайтын функциялар жиыны

0

x’ (t ) =0,5 дифференциалдық теңдеуінің шешімдер жиыны

V3

Екі сан мәнді функцияны қосу және функцияны санға көбейту амалдары әдеттегідей анықталған болсын. Онда осы амалдармен сызықтық кеңістік болатын жиындар:

1

[a; b]-да анықталған барлық Риман бойынша интегралданатын функциялар жиыны

1

[a; b]-да анықталған барлық Лебег бойынша интегралданатын функциялар жиыны

1

[a; b]-да анықталған барлық Лебег бойынша өлшенетін функциялар жиыны

0

Туындысы 1-ден аспайтын барлық функциялар жиыны

0

[0; 1] -де үзіліссіз, x( 0 ) =0,5 шартын қанағаттандыратын функциялар жиыны

0

[a; b] –да өспелі функциялар жиыны

0

[0; 1] –да үзіліссіз және теріс мәндер қабылдайтын функциялар жиыны

0

x’ (t ) =0,5 (t[0,1]) дифференциалдық теңдеуінің шешімдер жиыны

V3

Екі сан мәнді функцияны қосу және функцияны санға көбейту амалдары әдеттегідей анықталған болсын. Онда осы амалдармен сызықтық кеңістік болатын жиындар:

1

[a; b]-да анықталған барлық шенелген функциялар жиыны

1

[a; b]-да анықталған x( 0 ) =0 шартын қанағаттандыратын функциялар жиыны

1

[a; b]-да анықталған квадраты Лебег бойынша интегралданатын барлық өлшенетін функциялар жиыны

0

Туындысы 1-ден аспайтын барлық функциялар жиыны

0

[0; 1] -де үзіліссіз, x( 0 ) =0,5 шартын қанағаттандыратын функциялар жиыны

0

[a; b] –да өспелі функциялар жиыны

0

[0; 1] –да үзіліссіз және теріс мәндер қабылдайтын функциялар жиыны

0

x’ (t ) =0,5 (t[0,1]) дифференциалдық теңдеуінің шешімдер жиыны

V3

Екі сан мәнді функцияны қосу және функцияны санға көбейту амалдары әдеттегідей анықталған болсын. Онда осы амалдармен сызықтық кеңістік болатын жиындар:

1

[a; b]-да анықталған x(a)+x(b)=0 шартын қанағаттандыратын барлық сан мәнді функциялар жиыны

1

[0; 1]-де анықталған x’ (0,5 ) =0 шартын қанағаттандыратын барлық сан мәнді үзіліссіз дифференциалданатын функциялар жиыны

1

[a; b]-да анықталған барлық сан мәнді функциялар жиыны

0

Туындысы 1-ден аспайтын барлық функциялар жиыны

0

[0; 1] -де үзіліссіз, x( 0 ) =0,5 шартын қанағаттандыратын функциялар жиыны

0

[a; b] –да өспелі функциялар жиыны

0

[0; 1] –да үзіліссіз және теріс мәндер қабылдайтын функциялар жиыны

0

x’ (t ) =0,5 (t[0,1]) дифференциалдық теңдеуінің шешімдер жиыны