Тема 2: Линейные нормированные пространства

V3

n-өлшемді нақты сызықты Х кеңістігіне изоморфты кеңістіктер

1

Дәрежесі n-нен аспайтын барлық нақты коэффициентті көпмүшеліктер кеңістігі

1

Rⁿ- кеңістігі

1

Дәрежесі n –нен аспайтын барлық тригонометриялық полиномдар кеңістігі

0

[a; b] сегментінде үзіліссіз функциялар кеңістігі

0

Барлық көпмүшеліктер кеңістігі

0

n ×n өлшемді нақты элементті барлық матрицалар кеңістігі

0

Ақырсыз өлшемді кеңістік

0

k рет үзіліссіз дифференциалданатын функциялар кеңістігі

V3

Нақты сандар кеңістігінде норма болатын өрнектер:

1

| x |

1

| 7x |

1

| 9 x |

0

( x² ) | x |

0

| arctg x |

0

| sin x|

0

x³

0

| tg (x)|

V3

C[a; b] кеңістігінде барлық жерде тығыз жиындар:

1

Барлық рационал коэффициентті көпмүшеліктер жиыны

1

Барлық көпмүшеліктер жиыны

1

Барлық иррационал коэффициентті көпмүшеліктер жиыны

0

Кантор жиыны

0

Сызықты функциялар жиыны

0

Бірлік шар

0

Үзілісті функциялар жиыны

0

[a, b] сегменті бойынша интегралы 1-ден аспайтын функциялар жиыны

V3

L_p[a; b] кеңістігінде барлық жерде тығыз жиындар:

1

Барлық рационал коэффициентті көпмүшеліктер жиыны

1

Барлық көпмүшеліктер жиыны

1

Барлық үзіліссіз функциялар жиыны

0

Кантор жиыны

0

Сызықты функциялар жиыны

0

Нормасы 1-ден аспайтын функциялар жиыны

0

Лебег бойынша өлшенбейтін функциялар жиыны

0

Лебег бойынша интегралданбайтын функциялар жиыны

V1

C[a;b] кеңістігінде

M –барлық нақты коэффициентті көпмүшеліктер жиыны болсын (a<b). Онда:

1

C[a;b] –да М жиыны сызықты көпбейне болады

1

C[a;b] кеңістігінде М жиыны шекке көшуге қатысты тұйық емес

1

C[a;b] кеңістігінде М жиыны ішкеңістік болмайды

0

C[a;b] кеңістігінде М жиыны екі элементті қосуға қатысты тұйық емес

0

C[a;b] кеңістігінде М жиыны элементті санға көбейтуге қатысты тұйық емес

0

М жиынында нөлдік элемент жоқ

0

М жиыны ашық жиын

0

C[a;b] кеңістігінде М жиыны тығыз емес

V1

C¹[a;b] үзіліссіз дифференциалданатын функциялар кеңістігінде

M –барлық нақты коэффициентті көпмүшеліктер жиыны болсын (a<b). Онда:

1

C¹ [a;b] –да М жиыны сызықты көпбейне болады

1

C¹ [a;b] кеңістігінде М жиыны шекке көшуге қатысты тұйық емес

1

C¹ [a;b] кеңістігінде М жиыны ішкеңістік болмайды

0

C¹ [a;b] кеңістігінде М жиыны екі элементті қосуға қатысты тұйық емес

0

C¹ [a;b] кеңістігінде М жиыны элементті санға көбейтуге қатысты тұйық емес

0

М жиынында нөлдік элемент жоқ

0

М жиыны ашық жиын

0

C¹ [a;b] кеңістігінде М жиыны тығыз емес

V1

L₁[a;b] үзіліссіз дифференциалданатын функциялар кеңістігінде

M –барлық нақты коэффициентті көпмүшеліктер жиыны болсын (a<b). Онда:

1

L₁ [a;b] –да М жиыны сызықты көпбейне болады

1

L₁ [a;b] кеңістігінде М жиыны шекке көшуге қатысты тұйық емес

1

L₁ [a;b] кеңістігінде М жиыны ішкеңістік болмайды

0

L₁ [a;b] кеңістігінде М жиыны екі элементті қосуға қатысты тұйық емес

0

L₁ [a;b] кеңістігінде М жиыны элементті санға көбейтуге қатысты тұйық емес

0

М жиынында нөлдік элемент жоқ

0

М жиыны ашық жиын

0

L₁ [a;b] кеңістігінде М жиыны тығыз емес

V3

Метрикалық кеңістік болатын мысалдар:

1

М R¹ жиыны d(x, y) = | x – y| метрикасымен

1

Кез келген сызықты нормаланған кеңістік d (x, y) = || x – y || метрикасымен

1

Бүкіл нақты сандар жиыны d(x, y) = метрикасымен

0

Бүкіл нақты сандар жиыны d(x, y) = метрикасымен

0

Бүкіл рационал сандар жиыны d ( x, y ) = x – y метрикасымен

0

Бүкіл иррационал сандар жиыны d ( x, y ) =sin ( x – y) метрикасымен

0

Бүкіл нақты сандар жиыны d(x, y) = x² – y² метрикасымен

0

М R¹ нақты сандар жиыны d(x, y) = cos | x – y | метрикасымен

V3

Метрикалық кеңістік болатын мысалдар (мұнда x=( x₁, x₂) , y = (y₁, y₂)):

1

М R² жиыны d(x, y) = | x₁ – y₁ | + | x₂ – y₂ | метрикасымен

1

Кез келген сызықты нормаланған кеңістік d (x, y) = || x – y || метрикасымен

1

Декарттық жазықтық нүктелерінің жиыны d (x, y )= метрикасымен

0

Декарттық жазықтықтың рационал координатты нүктелерінің жиыны d (x, y) = (x₁ + y₁ ) + (x₂ + y₂ ) метрикасымен

0

Декарттық жазықтықтың иррационал координатты нүктелерінің жиыны d ( x, y ) = ( x₁ – y₁ ) + ( x₂ – y ₂) метрикасымен

0

М R² жиыны d (x, y )= x₁ ∙ y₁ + x₂ ∙ y₂ метрикасымен

0

Декарттық жазықтық нүктелерінің жиыны d (x, y ) = sin (x₁ - y₁ ) + sin (x₂ - y₂ ) метрикасымен

0

Декарттық жазықтық нүктелерінің жиыны d (x, y ) = cos (x₁ - y₁ )² + cos (x₂ - y₂ )² метрикасымен

V3

Метрикалық кеңістік болатын мысалдар:

1

[ a; b]-да үзіліссіз функциялар жиыны d(x, y) = | x (t ) – y(t) | метрикасымен

1

Кез келген сызықты нормаланған кеңістік d (x, y) = || x – y || метрикасымен

1

d(x, y) = , 1 ≤ p < метрикасымен

0

Көпмүшелер жиыны d (P₁, P₂) = | P₁(0) - P₂ ( 0) | метрикасымен

0

[ a; b]-да үзіліссіз функциялар жиыны d(x, y) = x (t ) – y(t) метрикасымен

0

[a,b]-да монотонды функциялар жиыны d(x, y) = x (a ) ∙ y(a) метрикасымен

0

[ a; b]-да үзіліссіз дифференциалданатын функциялар жиыны d(x, y) = | x’ (t ) – y’(t) | метрикасымен

0

[ a; b]-да үзіліссіз функциялар жиыны d(x, y) = | x (b ) – y(a) | метрикасымен

V3

Тұйықтам амалының қасиеттері

1

A

1

=

1

=

0

A B , то

0

≠

0

≠

0

=

0

A

V3

L₁[a;b] кеңістігінде барлық жерде тығыз болатын жиындар

1

үзіліссіз бөлікті сызықты функциялар жиыны

1

барлық көпмүшелер жиыны

1

рационал коэффицентті көпмүшелер жиыны

0

Бірлік ашық шар

0

Бірлік тұйық шар

0

Рационал сандар жиыны

0

Тұрақты функциялар жиыны

0

Кез келген Шенелген жиын