6.2 Нахождение особых решений уравнений, не разрешенных относительно производной
В этом параграфе рассматриваются два метода нахождения особых решений уравнений вида
.
(1)
Метод p - дискриминанта
Приведем теорему существования и единственности решения для уравнения, не разрешенного относительно производной.
Теорема. Существует единственное решение уравнения
,
определенное
в некоторой окрестности точки
и удовлетворяющее условию
,
для которого
где
– один из действительных корней уравнения
,
если в
замкнутой окрестности точки
функция
удовлетворяет условиям:
1) непрерывна по всем аргументам;
2)
производная
существует и отлична от нуля;
3)
существует ограниченная по модулю
производная
.
В
точках особого решения должно быть
нарушено по крайней мере одно из условий
этой теоремы. В
дифференциальных уравнениях, встречающихся
в прикладных задачах, условия 1) и 3)
обычно выполняются, но условие
часто
нарушается. Итак, в точках особого
решения должны одновременно выполняться
два условия:
и
.
Обычно
заменяют
и рассматривают систему уравнений
(2)
Исключая из этих уравнений , получаем уравнение
.
(3)
Определение.
Множество точек
(кривая на плоскости), определяемое
уравнением
,
называется
- дискриминантным множеством точек (
-
дискриминантной кривой) уравнения (1).
Дискриминантная кривая может состоять из одной или нескольких кри-
вых. Если уравнение (1) имеет особое решение, то оно находится среди этих - дискриминантных кривых.
Заметим, что в точках, удовлетворяющих уравнению (3), не обязательно нарушается единственность решения уравнения (1). Это следует из того, что условия теоремы являются только достаточными для единственности решения, но не необходимыми и, следовательно, нарушение какого - нибудь условия теоремы дает только необходимые условия существования особого решения. В -дискриминантное множество точек, кроме особого решения, может входить множество кратных точек интегральных кривых, таких как точки заострения, узловые точки, точки соприкосновения и т.д., которые, вообще говоря, могут и не быть интегральными кривыми. Например, геометрическое место узловых точек интегральных кривых не может являться интегральной кривой, так как в узловых точках направление касательной к интегральной кривой не совпадает с направлением касательной к кривой, состоящей из узловых точек.
Геометрическое место точек заострения может являться интегральной кривой и в этом случае оно является особым решением.
Из сказанного выше следует, что для нахождения особых решений уравнения (1) требуется:
1) найти - дискриминантные кривые уравнения (1);
2) выяснить путем непосредственной подстановки в уравнение (1), есть ли среди ветвей - дискриминантной кривой интегральные кривые; если среди ветвей - дискриминантной кривой нет интегральных кривых, то делаем вывод, что уравнение (1) не имеет особых решений; если какая - нибудь из ветвей является интегральной кривой, то переходим к следующему пункту;
3) для отобранных решений проверить выполнение определения особого решения.
Для того чтобы интегральная кривая была особой, то
есть
в каждой своей точке она касалась
некоторой кривой из семейства интегральных
кривых
,
требуется, чтобы для
выполнялись условия
(4)
Если для каждого существует хотя бы одно решение этой системы, то решение является особым решением уравнения (1).
Пример 17. Выяснить, имеют ли особые решения уравнения:
а)
б)
в)
.
▲ а) - дискриминантная кривая определяется системой уравнений
Исключая
из системы, получаем
- дискриминантную кривую
.
Непосредственной подстановкой в уравнение, убеждаемся, что не является решением уравнения. Следовательно, особых решений нет.
б) Составим систему уравнений, определяющую - дискриминантную кривую
Исключая из системы, получаем . Непосредственной подстановкой в
уравнение убеждаемся, что есть решение уравнения.
Найдем общее решение уравнения:
,
,
,
.
Ни одна кривая из семейства интегральных кривых не пересекает ось . Отсюда следует, что в точках интегральной кривой свойство единственности решения не нарушается. Следовательно, уравнение не имеет особых решений. Решение – одно из частных решений уравнения, которое было потеряно при интегрировании.
в) - дискриминантные кривые находим из системы
Исключая из этой системы, получаем, что – дискриминантная кривая., причем, она является решением уравнения (см. пр. 11). Проверим, является ли это решение особым, то есть касаются ли его в каждой точке другие решения. В пункте 4.1 (пр. 11) было найдено, что семейство интегральных кривых задается формулой
.
Рассмотрим на кривой произвольную точку с абсциссой . Напишем условие касания в точке с абсциссой интегральной кривой с другими интегральными кривыми :
Эта
система совместна для любого
при
.
Действительно, из второго уравнения
системы
.
Подставляя это значение в первое
уравнение, получаем
.
Это равенство справедливо для всех
.
Значит, при каждом
интегральная кривая
в точке с абсциссой
касается одной из кривых семейства
,
а именно той кривой, для которой
.
Следовательно, решение
– особое.
Изобразите
особое решение и одну из интегральных
кривых, соответствующих значению
,
которая касается особого решения в
точке
.
▲
Метод - дискриминанта
В этом пункте понятие особого решения уравнения (1) связывается с по-
нятием огибающей семейства интегральных кривых.
Определение.
Огибающей семейства линий
называется линия, которая в каждой своей
точке касается какой - нибудь из линий
семейства, причем в различных своих
точках она касается разных линий
семейства.
Пусть общий интеграл уравнения (1) есть
(5)
и это семейство интегральных кривых дифференциального уравнения имеет
огибающую.
Легко убедиться, что огибающая
семейства (5) является особым решением
уравнения. Действительно,
в точках огибающей значения
совпадают со значениями
для интегральной кривой, касающейся
огибающей в точке
.
и, так как огибающая вся состоит из точек
касания, следовательно, в каждой точке
огибающей значение
удовлетворяет уравнению (1), то есть
огибающая является интегральной кривой.
В каждой точке огибающей нарушена
единственность, так как через точки
огибающей по одному направлению проходят
по крайней мере две интегральные кривые:
огибающая и касающаяся ее в рассматриваемой
точке интегральная кривая семейства
(5). Следовательно, огибающая является
особой интегральной кривой. Таким
образом, нахождение особого решения
уравнения (1) сводится к нахождению
огибающей семейства интегральных кривых
(5).
Из дифференциальной геометрии известно, что для нахождения огибающей семейства кривых , зависящих от одного параметра, надо уравнение семейства продифференцировать по параметру и исключить из системы:
(6)
Исключая из (6), получим уравнение
,
(7),
которое определяет - дискриминантную кривую. Кроме огибающей она может содержать в себе еще геометрическое место точек, являющихся особыми для интегральных кривых (узловые точки, точки заострения и др.).
Таким
образом, чтобы найти особое решение с
помощью
- дискриминанта, надо найти
- дискриминантную кривую
,
определяемую си-
стемой (6). Ветвь этой кривой, являющаяся решением уравнения (1), будет
особым решением.
Пример 18. Найти особое решение уравнения
.
▲ Общий интеграл этого уравнения имеет вид
Находим - дискриминант:
.
- дискриминантная кривая состоит из одной линии . Функция является решением дифференциального уравнения. Следовательно, это есть особое решение уравнения. Интересно заметить, что прямая , представляя геометрическое место точек возврата интегральных кривых, является вместе с тем и огибающей этих кривых (рис.11). ▲
x
Рис. 11
Пример 19. Доказать, что уравнение Клеро (§4, п.4.3)
(8)
имеет особое решение, которым является его частное решение
(9)
▲ Общее решение уравнения Клеро
(10)
- дискриминантная кривая определяется следующей системой:
(11)
Сравнивая частное решение (9) с - дискриминантной кривой (11), видим,
что они совпадают. Частное решение (9), являясь огибающей семейства прямых (10), будет особым решением уравнения Клеро. ▲