6 Вопрос Пара сил. Момент пары сил

П арой сил называется приложенная к твердому телу система двух сил (F,F') , равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны:

F = -F'; F=F'.

Расстояние d между линиями действия сил пары называется плечом пары; плоскость , в которой действуют силы пары, называется плоскостью действия пары. Совокупность нескольких пар, действующих на тело, называется системой пар.

Пара сил не имеет равнодействующей. Она стремится сообщить телу некоторое вращение. Вращательный эффект пары характеризуется векторной величиной, называемой моментом пары. Момент пары сил относительно точки O

M_O(F,F') = M_O(F) + M_O(F')

не зависит от выбора точки O и равен моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы

M(F,F') = M_A(F') = M_B(F) .

Момент пары сил M перпендикулярен плоскости действия пары, направлен по правилу правого винта и равен по модулю произведению модуля любой из сил на плечо пары: M = F · d.

Векторный момент пары сил может быть приложен в любой точке пространства, т.е. является свободным вектором.

Две пары сил, имеющие одинаковые векторные моменты, эквивалентны, т.е. оказывают на тело одинаковое механическое действие.

Эквивалентность пар: действие пары сил на твердое тело не изменится, если

• переместить пару в другое положение в плоскости ее действия;

• плоскость ее действия переместить параллельно самой себе;

• любым образом изменить модули сил и плечо пары, сохранив неизменным их произведение, т.е. момент пары M=F · d.

Сложение пар сил: система n пар сил с моментами M₁,M₂,...,M_n эквивалентна одной паре с моментом M, равным векторной сумме моментов этих пар: M = M_k.

Условие равновесия системы пар, приложенных к твердому телу: M = M_k=0.

Векторный и алгебраический моменты пары сил.

Алгебраический момент M=±F•d (пара). M=±dF1=±dF2=±2SΔABC= ±S. Он не меняется при перемещении сил вдоль линии их действия (ни плечо, ни направление вращения не меняются).

Векторный момент – вектор M=M(F,F’), направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда видно стремление пары повернуть тело против часовой хода стрелки, его модуль равен алгебраическому моменту пары. M(F1,F2)=BAxF1=ABxF2.

7 Вопрос

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПАР СИЛ

Рассмотрим две теоремы, характеризующие важные свойства пар сил.

Теорема 1. Пару сил в плоскости ее действия можно переносить в любое новое положение, действие пары на тело при этом не изменится. Пусть дана пара с плечом и требуется перенести ее так, чтобы плечо заняло произвольно выбранное положение (рисунок а)

Через точки и , а также и проведем прямые, перпендикулярные соответственно и (рисунок б). Две первые параллельные линии пересекаются с двумя вторыми параллельными и образуют ромб (так как дано , а параллелограмм, у которого две высоты, проведенные из одной вершины, равны, - ромб). Силу из точки перенесем вдоль линии действия в точку , а силу - из точки в точку . В точке вдоль прямой приложим уравновешенную систему сил и , равных по модулю ; в точке вдоль прямой также приложим уравновешенную системы сил и , равных по модулю ; таким образом, .

Определим равнодействующую сил и , приложенных к точке , и равнодействующую сил , приложенных к точке . Легко видеть, что силы и уравновешивают друг друга, так как они равны между собой по модулю и действуют по диагонали ромба в противоположные стороны. Следовательно, силы , , и , образовавшие уравновешенную систему, можно исключить из рассмотрения. Остаются две силы - сила , которую из точки вдоль линии действия перенесем в точку (рисунок в), и сила , которую из точки перенесем в точку . Так как модули , , , и плечи и равны, то получаем пару , в положении , эквивалентную паре , в положении . Теорема доказана.

Перенося пару сил в любое положение в плоскости ее действия, мы тем самым переносим и точку приложения вектора момента пары, не меняя его ориентации в пространстве. Значит, вектор момента пары - свободный вектор.

Теорема 2. Две пары, расположенные в одной плоскости, производят на тело одинаковое вращательное действие в том случае, если их моменты равны.

П редположим, что задана пара с плечом . Следовательно, момент пары (рис. а). Присоединим к паре уравновешенную систему сил и , действующих вдоль плеча (рис. б), и сложим попарно силы и , а также и . Их равнодействующие и образуют новую пару сил с плечом (рис. в). Все произведенные выше преобразования сделаны на основе аксиом статики и не нарушают состояния, в котором находилось тело, т. е. пара производит на тело такое же действие, как и пара . Остается доказать равенство моментов этих пар сил: момент пары , момент пары .

Из построений на рис. б видно, что , ; следовательно, , т. е. . Теорема доказана.

Действующие в одной плоскости пары сил, моменты которых равны друг другу, называются статически эквивалентными.

И з доказанных теорем следует, что вращательное действие расположенной в данной плоскости пары зависит только от ее момента, поэтому для задания пары сил достаточно указать числовое значение ее момента, а затем по данному или выбранному плечу можно определить силы пары или по силам подобрать необходимое плечо. Исходя из этого, на рисунках и схемах пары сил изображают иногда просто круговой стрелкой, характеризующей лишь направления вращающего действия. Например, пары и , приложенные к брусу (рис. а), можно условно изобразить круговыми стрелками, обозначив их и (рис. б).