14. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
14.1. Предел и непрерывность функции нескольких переменных
Если
каждой паре значений
двух независимых друг от друга переменных
из области
ставится
в соответствие единственное вещественное
значение
,
то это соответствие
называется
функцией
двух переменных.
В
качестве
окрестности точки
(или
–
окрестности) будем рассматривать
множество всех точек
плоскости,
координаты которых удовлетворяют
неравенству
.
То есть
–
окрестность – это внутренние точки
круга с центром
и радиусом
.
Число
А
называется пределом
функции
при
(то есть при
и
)
если
для любого
найдётся
такое, что
для всех точек М
из
–окрестности
(за
исключением, возможно, самой точки
)
выполняется неравенство
.
Если предел существует, то он не зависит
от пути, по которому М
стремится к
.
Функция
называется непрерывной
в точке М
,
т.е. при
,
если она определена в окрестности этой
точки и
.
14.2. Частные производные
Частной
производной по переменной
х
от функции
называется предел отношения частного
приращения этой функции по переменной
х
к этому приращению, когда последнее
стремится к нулю:
.
Частная производная по х есть обычная производная от функции , которая рассматривается как функция только от переменной х, при фиксированном значении переменной у.
Аналогично можно определить производную по переменной у:
.
Пример.
Найти
,
если
.
Решение.
Так как производная по переменной х
вычисляется
при неизменном y,
то
=
.
Аналогично
.
Функции , называют частными производными первого порядка.
Эти
функции тоже могут иметь частные
производные, которые называются частными
производными второго порядка.
Они обозначаются следующим образом:
=
,
,
,
.
Пример.
Найти частные производные второго
порядка функции
.
Решение.
Так как
,
и
,
то
,
,
,
.
Заметим,
что
.
Это равенство всегда выполняется, если
частные производные второго порядка
непрерывны.
14.3. Дифференциал
Назовем
величину
полным приращением функции
.
Если полное приращение
представимо в виде
,
где
,
при
,
,
то функция
называется дифференцируемой,
а величина
=
называется
полным
дифференциалом
(приращения
и
обозначаются как
и
).
Пример.
Найти полный дифференциал функции
.
Решение.
Частные
производные равны
,
,
поэтому полный дифференциал равен
.
14.4. Экстремумы функций нескольких переменных
Говорят,
что функция
имеет локальный
максимум в
точке
,
т.е. при
,
если
для
всех точек
,
достаточно близких к точке 
(т.е.
лежащих в некоторой её окрестности) и
отличных от неё.
Говорят,
что функция
имеет локальный
минимум в
точке
,
т.е. при
,
если
для
всех точек
,
достаточно близких к точке
и
отличных от неё.
(Слово «локальный» мы, далее, будем опускать). Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.
Теорема (необходимое
условие экстремума функции двух
переменных). Если функция
достигает экстремума при
,
то каждая частная производная первого
порядка от 
или
обращается в ноль при этих значениях
аргументов, или не существует.
Точки, в которых частная производная первого порядка обращается в ноль, называются стационарными.
Теорема (достаточное
условие экстремума функции двух
переменных). Пусть в некоторой области,
содержащей точку 
функция
имеет
непрерывные частные производные до
второго порядка включительно. Пусть,
кроме того, точка
является стационарной точкой функции
,
т.е.
.
Обозначим
,
где
Тогда при
:
1)
имеет максимум, если
и
.
2)
имеет минимум, если
и
.
3)
не
имеет ни минимума, ни максимума, если
.
4)
если 
,
то экстремум может быть, а может и не
быть (требуется дополнительное
исследование).
Пример.
Найти экстремум функции
.
Решение. Сначала найдем частные производные:
,
.
Стационарные точки найдем из системы уравнений:
Система
имеет два решения:
и
.
Значит, имеются две стационарные точки
– это
и
.
Находим производные второго порядка данной функции:
,
В
точке
имеем
Так как
,
то в этой точке экстремума нет.
В
точке
имеем
Так как,
и А>0,
то функция в этой точке имеет минимум.
14.5 Задачи для самостоятельного решения
Задача
1) Найти частные производные функций
,
,
,
,
.
Задача 2) Найти частные производные второго порядка
,
,
.
Задача 3) Найти полный дифференциал функций
,
,
.
Задача
4) Найти экстремумы функции
.
Задача
5) Найти
экстремумы функции
.
15. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
15.1. Основные правила и требования
Каждый студент выполняет один вариант задания. Выбор варианта осуществляется по номеру в журнале группы или по указанию преподавателя. Преподаватель также определяет какие задачи должен решить каждый студент.
Сроки сдачи задания устанавливаются преподавателем.
15.2. Варианты задания
Задача 1. Дана расширенная матрица системы. Найти решение этой системы и соответствующей ей однородной системы.
Задача 2. Дана прямая Ах + Ву + С = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0: