Задания в10
№ 1. Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,2 + 10t – 5t2 м. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трёх метров?
Решение. По условию высота h(t) ≥ 3, т.е. 1,2 + 10t - 5t2 ≥ 3.
- 5t2 + 10t – 1,8 ≥ 0; 5t2 - 10t + 1,8 ≤ 0. Решим последнее неравенство методом интервалов.
D = 100 - 36 =64. t1 = 0,2; t2 = 1,8. Решением будет промежуток между корнями: [0,2; 1,8].
Значит, начиная со времени t1 и до времени t2, мяч будет находиться на высоте не менее трех метров. Величина этого временного промежутка будет: 1,8 - 0,2 = 1,6.
Ответ: 1,6.
№2. Количество вещества в реакторе ( в килограммах) в каждый момент времени определяется по формуле M = 100·2-kt, где t - время, измеряемое в часах. Период полураспада вещества составляет 10 часов. Сколько часов после начала процесса количество вещества будет оставаться не менее 12,5 кг?
Решение. Период полураспада вещества - время, за которое масса вещества уменьшится в 2 раза по сравнению с первоначальной массой, по условию t=10. Составим равенство: М/2 = 100·2-10k, тогда М = 100·21-10k - начальная масса.
С другой стороны, начальная масса - масса вещества в нулевой момент времени, т.е. М(0)=100·20=100.
Составим уравнение: 100·21-10k = 100 → 1=10k → k = 1/10.
Подставим k в формулу массы: М = 100·2-t/10. По условию M ≥ 12,5.
Решим показательное неравенство: 100·2-t/10 ≥ 12,5 → 2-t/10≥0,125 0,5t/10≥0,53 → t ≤30
Ответ: 30 часов.
Задания в11
№ 1. Найдите наибольшее значение функции y= 12tgx - 12x + 3п - 6 на отрезке [-п/4 ; п/4]
Решение. у' = 12/cos2 x - 12 =0 → cos2 x=1 → cosx = ±1 → x=пk, k єZ
Промежутку [-п/4; п/4] принадлежит только x=0.
y(0) = 0 -0 -3п -6 <0
у(п/4) = 12 -12п/4 +3п -6 = 6 -наибольшее значение.
у(-п/4) = -12+12п/4 +3п -6 = -18 +6п <0 Ответ: 6.
№ 2. Найдите точку максимума функции у = −х / (х2+289)
Решение. Применим ф-лу для нахождения производной частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v2 .
y =(-(x2 + 289)+x*2x) /(x2 +289)2 =0
-x2 - 289 + 2x2 =0 --> x2 - 289 =0 --> x = ± 17 - критические точки.
y' =(x2 - 289) /( x2 + 289)2 . Заметим, что знаменатель дроби всегда положителен.
y' + • – • +______
y / -17 \ +17 /
х = -17 - точка максимума
Задания b12
№ 1. Антон и Сергей могут оформить зал за 2ч 20мин., Антон и Максим за 2ч 48мин, а Максим и Сергей за 4ч 40мин. Сколько времени потребуется всем вместе для оформления зала?
Решение. Если заказ можно выполнить за х часов, то за час должна выполняться 1/х часть всего заказа. Выразим время в часах. 20 мин =1/3 часа, 48 мин = 48/60 часа = 4/5 часа, 40мин = 40/60 = 2/3часа.
Антон и Сергей могут выполнить заказ за 2+1/3=7/3 часа, значит, за час они вместе выполняют 1/(7/3)=3/7 части от всей работы. Антон и Максим — за 2+4/5=14/5 часа — всю работу, а за час 5/14 части всей работы, Максим и Сергей всю работу — за за 4+2/3=14/3 часа, а за час 3/14 части.
Все вместе за 1 час выполнят некоторую часть работы. Вычислим, какую.
(3/7 + 5/14 + 3/14)/2 = (6/14 + 5/14 + 3/14)/2 = (14/14)/2 = 1/2, т.е. за 1 час будет выполнена половина всей работы, если мальчики будут работать вместе. Значит, за 2 часа они вместе выполнят всю работу.
Ответ: 2 часа.
№ 2. Фирма хочет продать моркови на 10% меньше, чем в прошлом году. На сколько процентов фирма должна повысить цену на морковь, чтобы получить за неё на 3,5% больше денег, чем в прошлом году.
Решение.
Пусть в прошлом году масса проданной моркови была m кг ценою х руб. Тогда выручка за морковь равнялась mx руб., что составляло 100%.
В этом году моркови хотят продать 90% от х, т.е. 0,9m кг и по цене y руб. Тогда выручка составит 0,9m·y руб. и это - 103,5%. Получили пропорцию:
mx - 100%
0,9my - 103,5%
103,5 mx = 100·0,9my --> 90y=103,5x --> y/x = 103,5 / 90 y/x = 1,15
Но у/х *100% = 115% это новая цена в процентах по отношению к старой цене.
А это значит, что если старая цена х руб. - 100%, то новая цена у руб. - 115%.
Цену нужно повысить на 15%.
Ответ: 15.