2.2. Дотична і нормаль до графіка функції

Задача. Знайти рівняння дотичної і нормалі до кривої, заданої рівнянням в точці з абсцисою .

Розв’язування.Точка на кривій має координати . Кутовий коефіцієнт дотичної Використавши рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом на площині, що проходить через задану точку , одержимо рівняння дотичної:

Нормаль до кривої в заданій точці перпендикулярна до дотичної, проведеної в цій точці. А тому кутовий коефіцієнт нормалі на основі умови перпендикулярності двох прямих

. Отже, рівняння нормалі

Приклад. Знайти рівняння дотичної і нормалі до параболи

в точці з абсцисою .

Розв’язування. Похідна Знайдемо

ординату цієї точки

Рівняння дотичної або .

Рівняння нормалі або .

2.3. Механічний зміст похідної

Нехай матеріальна точка рухається по прямій, починаючи з точки і шлях, пройдений нею, описується рівнянням

З афіксуємо момент часу ,коли точка знаходилася в положенні .Надамо часу приріст За цей час точка перейде в положення . Приріст шляху (мал.2).

₁-

Середня швидкість руху _сер.

Спрямувавши до нуля, ми одержимо миттєву

швидкість руху точки в момент часу .

Отже, похідна від пройденого шляху по часу виражає миттєву швидкість руху в момент t. Це є механічний зміст похідної.

2.4. Економічний зміст похідної

Якщо слово “швидкість” розуміти більш широко , як швидкість зміни функції в залежності від зміни аргументу, то можна вказати економічний зміст похідних від функцій, які описують певні економічні процеси.

Нехай витрати виробництва V однорідної продукції є функцією кількості продукції , тобто Припустимо, що кількість продукції збільшується на . Продукції

відповідають витрати виробництва . Приріст

витрат виробництва . Середній приріст витрат на одиницю приросту продукції .

Похідна називається маржинальними (або граничними) витратами виробництва при умовах хоча би простого відтворення виробництва продукції.

Вкажемо на економічний зміст похідних для інших залежнос

тей, які найбільш часто вживаються.

Позначимо через та відповідно дохід і прибуток при виробництві і реалізації одиниць продукції. Тоді, якщо підприємство збільшує випуск продукції на одиниць, ці

функції одержать приріст

,

,

а тому маржинальний дохід

,

а маржинальний прибуток

.

§3. Зв’язок між неперервністю та диференційовністю фукції

Означення. Функції, які мають похідні в точці називають диференційованими в цій точці.

Зв’язок між неперервністю і диференційовністю функції встановлює наступна теорема.

ТЕОРЕМА. Якщо функція диференційовна

в точці то вона неперервна в цій точці.

Доведення. Оскільки функція диференційовна в точці то вона має в цій точці скінчену похідну. Це означає, що

.

На основі означення границі випливає, що

де - нескінченно мала величина.

Звідси . А тому коли .

А з означення неперервності функції випливає , що неперервна в точці . Теорема доведена.

Обернене твердження неправильне.

Так, функція неперервна в точці (мал.3), але

вона немає похідної в цій точці. Дійсно,

, а .

Отже, границя відношення залежить від способу прямування до нуля і тому не існує в точці А, отже, функція не диференційовна в цій точці.