§13. Формула Тейлора

Важливою задачею математичного аналізу є знаходження

значень функцій, заданих формулами. Безпосередньо ми можемо обчислити значення функцій, заданих многочленами, чи дробово-раціональними функціями. Так, наприклад, знайдемо значення

функцій: а) , при , б) , при .

Отримаємо: , .

Тоді як значення функцій знайти безпосередньо не можемо.

В розв’язанні цієї задачі може допомогти формула Тейлора. Встановимо цю формулу для многочленів.

13.1. Формула Тейлора для многочлена

Нехай задано многочлен

і деяке число . Покажемо, що даний многочлен можна записати у вигляді:

(4.7)

знайдемо значення постійних Підставивши в (4.7), одержимо .

Продиференціюємо (4.7):

(4.8)

Поклавши в (4.8) , одержимо Звідси,

.

Продиференціюємо (4.8):

.

Поклавши тут одержимо звідки

.

Продовжуючи такі міркування, одержимо

і взагалі .

Отже, для будь-якого многочлена і будь-якого справедлива формула

яка називається формулою Тейлора для многочлена.

Приклад. Нехай Розкласти за степенями

Розв’язування:

,

,

, ,

Тому,

13.2. Формула Тейлора для довільної функції

Нехай будь-яка функція, неперервна, що має неперервні похідні всіх порядків на проміжку ( ). Візьмемо яке- небудь з цього проміжку та будь-яке натуральне число і складемо многочлен

який будемо називати тейлоровським многочленом нашої функції.

Вважаємо, що не може дорівнює Проте досить часто різниця між ними виявляється малою. Позначимо її Одержимо Доведено, що можна

виразити формулою

де проміжна точка між і Ця формула задає залишковий член R_n(x) в формі Лагранжа. Доведення її виходить за рамки нашого курсу і тому не приводиться.

Отже, для довільної функції маємо формулу

яка називається формулою Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа.

13.3. Формула Маклорена

Взявши у формулі Тейлора одержимо формулу Маклорена

де де число

Ця формула найчастіше використовується для зображення функцій.

Приклад. Знайти формулу Маклорена для функції взявши .

Розв’язування: Обчислимо

.

Зауваживши, що значення похідних дальше повторюються, одержимо

Враховуючи, що величина залишкового члена досить мала, можемо написати наближену формулу

Обчислюючи синус якого-небудь кута, вираженого в градусах, треба спочатку перетворити їх в радіани і тоді підставляти у формулу. Приклади на використання подібних формул буде показано в іншому розділі.

§14.Зростання і спадання функції на проміжку

Означення 1. Функція називається зростаючою на проміжку якщо більшому значенню аргументу х відповідає більше значення функції. Тобто, якщо , то

Якщо нерівність виконується нестрога, то функція називається неспадною.

Означення 2. Функція називається спадною на проміжку якщо більшому значенню аргументу х відповідає менше значення функції. Тобто, якщо , то

Якщо нерівність виконується нестрого, то функція називається незростаючою.