§18.Опуклість і вгнутість графіка функції. Точки перегину

П ри дослідженні функцій з метою побудови їх графіків важливу роль відіграють такі поняття як опуклість і вгнутість кривих.

Означення 1. Крива називається опуклою в точці , якщо в околі цієї точки крива знаходиться під

дотичною до кривої, проведеної в цій точці (мал.12).

Означення 2. Крива називається вгнутою в точці , якщо в околі цієї точки крива знаходиться над дотичною до кривої, проведеної в цій точці (мал 13).

Означення 3. Крива називається опуклою (вгнутою) на проміжку якщо вона опукла (вгнута) в кожній точці цього проміжку.

Для встановлення проміжків, на яких графік функції

опуклий, а на яких вгнутий, вкажемо теорему, яка дає достатні умови опуклості і вгнутості кривих на проміжку.

ТЕОРЕМА. Якщо на проміжку друга похідна функції від’ємна, то її графік опуклий на цьому проміжку, якщо додатня на , то графік вгнутий.

Не приводячи строгого доведення, приведемо геометричні

міркування, які пояснюють теорему.

Якщо скрізь на проміжку (a,b) f″(x)<0, то це означає, що f′(x), як функція для якої f″(x) є похідною, буде спадною. Отже, спадає на розглядуваному проміжку кутовий коефіцієнт дотичної tgα до кривої і спадає сам кут α, утворюваний дотичною з додатним напрямом осі Ox (мал12).

Очевидно крива на проміжку розташована під дотичною. Якщо то крива буде угнутою.

Означення 4. Точка, яка відокремлює опуклу частину неперервної кривої від вгнутої чи навпаки, називається точкою перегину.

Необхідні умови існування точки перегину дає теорема.

Т ЕОРЕМА. Якщо - точка перегину неперервної функції , то друга похідна її в цій точці

дорівнює нулю або не існує.

Точки, в яких дорівнює нулю або не існує називають критичними точками другого роду.

Проте умови теореми не є достатніми. Так для функції друга похідна дорівнює нулю при Проте графік її вгнутий в цій точці (мал.14).

• Достатні умови існування точки перегину.

ТЕОРЕМА. Якщо друга похідна в точці дорівнює нулю і міняє знак при переході через цю точку, то точка з абсцисою є точкою перегину кривої .

Доведення. Припустимо, що в точці М з абсцисою , друга похідна і при переході через неї зліва на право змінює знак з мінуса на плюс. Тоді зліва від М крива опукла ( а справа крива вгнута Отже, в точці М крива змінює опуклість на вгнутість, і тому точка М є точкою перегину.

Приклад. Знайти точки перегину і визначити проміжки

опуклості та вгнутості кривої (крива Гаусса).

Знаходимо похідні:

Прирівнюємо другу похідну до нуля і знаходимо критичні

точки другого роду: ,

Ц і точки розбивають область визначення функції на проміжки: (мал.15). Знаходимо знаки другої похідної в цих проміжках.

Отже, точки

є точками перегину. На проміжку крива опукла, на проміжках -крива вгнута (мал.16).

§19. Асимптоти графіка функції

При дослідженні функцій часто буває, що графіки їх як завгодно близько наближаються до цієї чи іншої прямої. З такими лініями ви зустрічалися при вивченні гіперболи.

Означення 1. Пряму лінію називають асимптотою графіка функції якщо відстань точки графіка від цієї прямої прямує до нуля при віддаленні точки в нескінченість.

Асимптоти бувають вертикальними, похилими і горизонтальними.Вертикальні асимптоти існують тоді, коли функція має розриви другого роду.

Означення 2. Якщо в точці хоч одна з

односторонніх границь або , то

п ряма є вертикальною асимптотою.

Наприклад, для функції

і

Отже, - вертикальна асимптота (мал.17).

Означення3. Якщо існує скінчена

границя то пряма

називається горизонтальною асимптотою.

Оскільки для функції маємо то пряма - горизонтальна асимптота.

Рівняння похилої асимптоти шукають у вигляді прямої з кутовим коефіцієнтом Відстань точки графіка функції приблизно можна виразити через різницю ординат при одному і тому значенні :

За означенням асимптоти при тобто

. (4.9)

Розділивши цю рівність на ,маємо

Оскільки то . (4.10)

Якщо границя (4.10) не існує, то похилої асимптоти не буде. Якщо скінчене число, то з (4.9) знайдемо

Таким чином, одержимо рівняння похилої асимптоти y=kx+b. При маємо рівняння горизонтальної асимптоти

Приклад. Знайти асимптоти графіка функції

Розв’язування. Область визначення функції

,

Отже, x=0 - вертикальна асимптота.

Знаходимо похилі асимптоти y=kx+b

Отже, - похила асимптота (мал.18).

Горизонтальних асимптот нема,

оскільки

.