1.2. Основні властивості невизначеного інтеграла

ТЕОРЕМА 3. (Властивість 1) Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.

(6.4)

Доведення. Згідно з означенням (6.2)

а тому .

Отже похідна від первісної дорівнює підінтегральній функції.

ТЕОРЕМА 4. (Властивість 2) Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу

(6.5)

Доведення. За означенням диференціала .

Тому

.

ТЕОРЕМА 5. (Властивість 3) Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції F(x) дорівнює цій функції з точністю до довільної сталої,

. (6.6)

Доведення. Продиференціюємо ліву і праву частини рівності.

Одержимо: і

.

Праві частини рівностей однакові. Значить рівні й ліві. Теорему доведено.

Аналогічно, диференціюванням лівої і правої частин рівності, доводяться теореми 6 і 7.

ТЕОРЕМА 6. (Властивість 4). Сталий множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла.

(k=const) (6.7)

ТЕОРЕМА 7. (Властивість 5) Інтеграл від алгебраїчної суми скінченого числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій

. (6.8)

1.3. Таблиця невизначених інтегралів

Інтегрування є операція, обернена до диференціювання. Тому формули інтегрування отримують з формул для знаходження похідних. А універсальність застосування формул інтегрування випливає з теореми про незалежність вигляду невизначеного інтеграла від вибору аргументу (інваріантність невизначеного інтеграла відносно змінної інтегрування ).

ТЕОРЕМА 8. Нехай f(x) – деяка неперервна функція на даному проміжку, х – незалежна змінна, F(x) – її первісна, і нехай неперервно диференційо-

вана функція. Тоді . (6.9)

Доведення. Розглянемо інтеграл . В

цьому випадку складна функція є первісна для f(u).

Справді, внаслідок незалежності диференціала першого порядку від вибору незалежної змінної, одержуємо . При цьому

.

Тому, з справедливості формули (6.3), випливає справедливість формули

. (6.9)

Отже формулами інтегрування можна користуватись при будь-якій змінній інтегрування. Використовуючи таблицю диференціалів основних елементарних функцій, виведемо деякі формули інтегрування. Інші виводяться аналогічно.

1) Інтегруючи формулу одержимо

. (6.10)

2) В випадку показникової функції, використовуємо формулу

. Інтегруючи цю рівність, одержимо . І далі . Внаслідок того, що lna величина стала то і - теж довільна стала, яку прийнято записувати С.

. (6.11)

3) Виведемо формулу інтегрування з формули

.

Одержимо .

Отже (6.12)

4) Інтегруючи формулу диференціювання

,

одержуємо або . Використовуючи цю формулу, будемо мати .

. (6.13)

5) , .

Для виведення цієї формули використовують формулу для знаходження диференціала . Якщо показник степеня дорівнює n+1 формула запишеться так: . Інтегруючи цю формулу (ліву і праву частину) і, зробивши перетворення, одержимо

(6.14)

6) Формули (6.15)

та (6.16)

доводяться диференціюванням лівої і правої частин рівності.

Такий метод доведення формул можна використовувати для будь-якої формули інтегрування.

7) Доведемо справедливість формули .

Нехай х>0 . Тоді і Якщо х<0, то і . Формула доведена.

Для компактності всі формули зводять в таблицю.

ТАБЛИЦЯ ОСНОВНИХ ІНТЕГРАЛІВ