4.3. Обчислення об’ємів

• Визначення і обчислення об’єму тіл за площами паралельних перерізів

Н ехай в просторі дано тіло, що знаходиться між двома площинами і , і відомо, що всяка площина паралельна до площини і яка знаходиться від неї на відстані перетинає тіло по плоскій фігурі, площа якої є функція (мал. 12). Спроектуємо тіло на площину Одержимо плоску фігуру, яку знову спроектуємо на вісь Ох (а<b). Розіб’ємо проміжок точками . Через точки поділу проведемо перпендикулярні площини до площини і позначимо - площі відповідних паралельних один одному перерізів. Побудуємо на кожному перерізі, як на основі, циліндр висотою, відповідно, , , Таким чином одержимо циліндрів. Запишемо суму, яка є інтегральною:

Перейдемо до границі при Одержимо

Якщо така границя існує, то кажуть, що дане тіло має об’єм.

• Обчислення об’єму тіла обертання

Нехай криволінійна трапеція утворена лінією , прямими х=а та х=b та віссю Ох, обертається в просторі навколо осі Ох. Знайти об’єм фігури обертання, яка утворилась.

Враховуючи те, що для об’єму тіла обертання площа поперечного перерізу одержимо

(6.49)

Я кщо ж криволінійна трапеція утворена лінією , прямими у=с та у=d та віссю Оу, обертається в просторі навколо осі Оу то

Приклад 31. Знайти об’єм тіла

утвореного обертанням навколо осі абсцис

фігури, обмеженої лініями , х=1, х=4.

Розв’язування. Об’єм тіла обертання

обчислюємо за формулою .

4.4. Обчислення довжини дуги плоскої кривої

Запишемо, без виведення, формулу для знаходження дуги плоскої кривої, заданої рівнянням y=f(x), при умові неперервності на функцій і .

(6.50)

Приклад 32. Знайти довжину дуги плоскої кривої лінії від точки О(0;0) до точки М(4;8).

Розв’язування. В задачі а=0, b=4, . Тоді

. Введемо заміну .

Т оді . Змінимо межі інтегрування. Якщо , то ; якщо t=10, то x=4. Обчисливши інтеграл, одержуємо довжину дуги:

4.5. Задача про максимізацію прибутку за часом

Метою всякого виробництва є досягнення максимального прибутку. Тобто, досягнення максимальної різниці між доходами і видатками. Позначимо P(t), D(t), V(t) – відповідно функції прибутку, доходу та видатків від часу. Тоді P(t)=D(t)-V(t). Функція досягає свого екстремуму, якщо її похідна рівна 0. Тобто . Тобто . Визначимо момент t_k в який швидкість зміни доходу та видатків зрівнюються. Загальний прибуток за час t_k можна знайти за формулою

.

Приклад 33. Швидкості зміни витрат і доходу підприємства, після початку його діяльності визначались формулами: , і вимірювали у мільйонах

гривень, а у роках. Визначити тривалість прибуткового існування підприємства і знайти загальний прибуток, одержаний за цей час.

Розв’язування. Оптимальний час для прибутку підприємства одержимо з умови . З рівняння визначаємо .

Отже, підприємство було прибутковим 1 рік. За цей час одержано прибутку:

4.6. Задача про витрати, дохід і прибуток

Нехай тепер V(х) – функція загальних видатків на виробництво х одиниць продукції, - функція маржинальних видатків. - функції, відповідно, маржинальних прибутку та доходу. Тоді при зростанні кількості одиниць продукції від a до b, зміна загальних видатків обчислюється за формулою .

При зростанні реалізації продукції зміни прибутку і доходу визначимо за формулами: ,

.