Понятие множества

Множеством называется совокупность объектов любой природы (предметов, явлений, процессов, понятий), рассматриваемых как одно целое. Объекты, образующие множество, называются элементами данного множества. Если объект x является элементом множества X, то пишут .

Множество считается заданным, если о всяком объекте можно судить, является ли он элементом данного множества. Рассмотрим три способа задания множества.

1. Явное задание — список элементов, например:²

{пн, вт, ср, чт, пт, сб, вс}.

Фигурные скобки заменяют слово «множество». Запись читается «множество элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье».

2. Описание элементов — указание характеристического свойства, признака, присущего элементам данного множества. Пример:

{дни недели}.

Запись читается «множество дней недели».

В описании множества обычно используется математическая символика. Пример:

.

Вертикальная черта | заменяет слова «такой, что», «такие, что». Запись читается «множество элементов (чисел) x таких, что выполняется равенство x³=4x». Другими словами это множество корней уравнения x³=4x: {0; –2; 2}.

3. Указание алгоритма порождения элементов множества. Пример алгоритма³:

Gen

1)

2) .

По приведенному алгоритму генерируется множество чисел:

M={567; 189; 63; 21; 7}.

Распространенные множества и их обозначение

 — пусто (пустое множество).

.

.

.

.

.

.

.

.

Подмножество

Если всякий элемент множества A принадлежит также множеству B, то говорят, что множество A есть подмножество или часть множества B, и пишут AB (рис. 1).⁴

Пример: .

Действия над множествами

П

Рис. 1. множество B

и его подмножество A.

ересечение. Множество, состоящее из элементов, одновременно принадлежащих A и B, называют пересечением и обозначают (читается «а и бэ»).

П

Рис. 2. Пересечение множеств.

ересечение множеств удобно иллюстрировать как пересечение фигур на диаграмме (рис. 2). Приведем символическую запись определения пересечения множеств A и B:

.

Пример 1. A={3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, B={0; 2; 4; 6; 8}; ={4; 6; 8}. Множества A и B пересекаются.

Пример 2. C={1; 3; 5; 7; 9}, B={0; 2; 4; 6; 8}; . Множества C и B не пересекаются.

Аналогично определяется пересечение трёх множеств.

О

Рис. 3. Объединение множеств.

бъединение. Объединением множеств A и B называется множество, включающее все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств A или B. Объединение обозначается (читается «а или бэ»).

Пример 1. A={3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, B={0; 2; 4; 6; 8}; A B={0; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Пример 2. A={1; 3; 5; 7; 9}; A =A={1; 3; 5; 7; 9}.

Приведем символическую запись определения объединения множеств:

Аналогично определяется объединение трёх множеств.

Основные свойства пересечения и объединения.

Пересечение: 1) , 2) .

Объединение: 1) , 2) .

Переместительный (коммутативный) закон:

, .

Сочетательный (ассоциативный) закон:

,

.

Распределительный (дистрибутивный) закон:

пересечения относительно объединения —

;

объединения относительно пересечения —

.

Рис. 4. Разность множеств.

Вычитание. При помощи действия вычитания находят разность двух множеств.

Разностью множеств A и B называется множество, включающее все элементы, принадлежащие множеству A, не принадлежащие множеству B. Разность обозначается (читается «а, но не бэ»).

Пример. A={; ; ; }, B={; ; }, A\B={; ; }, B\A={; }.

Диаграмма разности множеств A и B показана на рисунке 4. Приведем запись определения разности множеств сокращенной логической символикой:

.

Е

Рис. 5. Дополнение до множества.

сли множество B является подмножеством множества A, то разность A\B называют также дополнением множества B до множества A (см. рис. 5). Для дополнения множества B в множестве A часто используют обозначение . Выразим определение дополнения символически:

.

Итак, в результате алгебраической операции мы получаем новое множество. С помощью алгебраических операций и понятия подмножества можно описывать отношения между множествами.