Формула полной вероятности
Теорема
2.5. Если
событие
наступает
только при условии появления одного из
событий 
,
образующих полную группу несовместных
событий, то вероятность события
равна
сумме произведений вероятностей каждого
из событий
на
соответствующую условную вероятность
события
:
(2.1) |
При
этом события 
называются
гипотезами, а вероятности 
—
априорными. Эта формула называется
формулой полной вероятности.
Пример 7. На сборочный конвейер поступают детали с трех станков. Производительность станков не одинакова. На первом станке изготовляют 50% всех деталей, на втором — 30%, на третьем — 20%. Вероятность качественной сборки при использовании детали, изготовленной на первом, втором и третьем станке, соответственно 0,98, 0,95 и 0,8, Определить вероятность того, что узел, сходящий с конвейера, качественный.
Решение. Обозначим
событие,
означающее годность собранного
узла; 
, 
и 
—
события, означающие, что детали сделаны
соответственно на первом, втором и
третьем станке. Тогда
Искомая вероятность
Формула Байеса
Эта
формула применяется при решении
практических задач, когда событие
,
появляющееся совместно с каким-либо из
событий
,
образующих полную группу событий,
произошло и требуется провести
количественную переоценку вероятностей
гипотез
.
Априорные (до опыта) вероятности 
известны.
Требуется вычислить апостериорные
(после опыта) вероятности, т. е., по
существу, нужно найти условные
вероятности 
.
Для гипотезы 
формула
Байеса выглядит так:
Раскрывая в этом равенстве по формуле полной вероятности (2.1), получаем
Пример 8. При условиях примера 7 рассчитать вероятности того, что в сборку попала деталь, изготовленная соответственно на первом, втором и третьем станке, если узел, сходящий с конвейера, качественный.
Решение. Рассчитаем условные вероятности по формуле Байеса:
для первого станка
для второго станка
для третьего станка