Тема 2. Геометрия и топология нормированного векторного пространства
Основные понятия: нормированное векторное пространство, сходимость последовательностей по норме, открытое, замкнутое, ограниченное, выпуклое множество в нормированном пространстве, точка прикосновения, предельная, изолированная, внутренняя, внешняя и граничная точки множества, топология нормированного векторного пространства.
Примеры решениЯ задаЧ.
Задача № 1.
Является ли множество
открытым, замкнутым, в пространствах
.
Найти его замыкание, внутренние и
граничные точки в каждом из указанных
пространств.
Решение.
Докажем, что множество M
не является открытым в пространстве
C[0,1].
Рассмотрим точку
,
т.е.
и x(0)=0.
Для каждого
существует функция
,
такая, что
,
как только
.
Функция x(t)
принадлежит шару
,
но не принадлежит множеству M.
Таким образом, у мнoжества M
нет внутренних точек и M
не является открытым.
Проверим, является
ли множество M
замкнутым в C[a,b].
Напомним, что
,
если из того, что
и
следует, что
.
Другими словами, M
замкнуто, если для каждой последовательности
непрерывных функций таких, что
и для которых существует непрерывная
на отрезке [0,1] функция
такая, что
при
,
функция
удовлетворяет условию
.
Учитывая, что сходимость в пространстве
C[0,1]
равномерная, то из того, что
при
следует
при
для всех
.
Следовательно,
.
Итак, в пространстве C[a,b]
множество M
замкнуто и каждая его точка для множества
M
является граничной.
Каждый открытый
шар радиуса r
в пространстве CL[a,b]
содержит открытый шар радиуса
пространства C[a,b]
с центром в той же точке, т.е.
.
Действительно, пусть
,
т.е.
,
тогда
,
т.е.
.
Значит, если множество открыто в
пространстве CL[0,1],
то оно открыто в C[0,1].
А так как множество M
не является открытым в C[a,b],
то оно не является открытым и в CL[a,b].
Докажем, что оно
не является замкнутым в CL[a,b],
точнее,
.
Действительно, для каждой функции
существует последовательность
такая, что
,
где
и
,
,
однако
,
что и означает незамкнутость множества.
Задача № 2.
Выяснить, является ли множество
открытым, замкнутым, ограниченным в
пространстве
.
Решение.
Рассмотрим последовательность
,
принадлежащую множеству M,
которая сходится в
к элементу
,
который множеству M
не принадлежит. Значит, M
не является замкнутым.
Докажем, что M
не является также открытым, т.е. существует
такая точка
,
что
существует точка
.
Пусть
.
Ряд
сходится, обозначим его сумму через
и рассмотрим последовательность
,
,
т.к.
.
Но
,
так как
.
Ряд
расходится, т.е.
,
что
.
Если в качестве c
взять
,
то получим, что
,
что
,
т.е.
.
Значит, M
не является открытым. Множество M
является ограниченным, так как оно
содержится в шаре
,
где
.
Действительно, из условия
следует, что
,
но тогда
и
.
Задача № 3.
Доказать, что
является подпространством пространства
.
Решение.
Подпространством называется замкнутое
линейное многообразие. Пусть
и
,
тогда
,
т.к.
.
Покажем, что
множество L
замкнуто. Пусть
и
,
тогда
.
Действительно, если
,
то
т.к.
.
Значит, L подпространство в СL[0,1].
Задача №
4.
Доказать, что множество
нигде не плотно в l2.
Решение.
По определению множество A
является нигде не плотным в нормированном
векторном пространстве, если оно не
плотно ни в одном шаре, т.е. если в каждом
шаре
содержится другой шар
,
не имеющий с A
ни одной общей точки.
Пусть
произвольный шар в
.
Возможны два варианта:
1)
;
2)
.
Во втором случае
рассмотрим шар
и точку
.
Тогда для
имеем:
,
т.е.
,
кроме того
.
Таким образом, в шаре
всегда найдется шар
,
не содержащий точек множества
,
т.е.
нигде не плотно.
Задача № 5.
Доказать, что множество
последовательностей из
,
содержащих лишь конечное число членов,
отличных от нуля, плотно в
.
Решение. Пусть
,
т.е.
:
.
Обозначим через
.
Очевидно,
и
.
Значит,
является
точкой прикосновения для множества
,
следовательно
всюду плотно в
.
Задание №1.
Определите, является ли данное множество
замкнутым, открытым в пространстве
.
Найдите его замыкание, внутренние и
граничные точки в каждом указанном
пространстве.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
.
Задание 2.
Для данного множества M выяснить,является
ли множество
открытым, замкнутым, ограниченным в lp.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
.