Тема 5. Гильбертовы пространства

Основные понятия: скалярное произведение, пространство со скалярным произведением, полнота пространства со скалярным произведением. ортонормированные системы, процесс ортогонализации Грамма-Шмидта, разложение гильбертова пространства в прямую сумму, аппроксимация в гильбертовом пространстве.

Примеры решениЯ задаЧ

Задача № 1. Для функции найти многочлены степени такие, что минимальна в пространстве .

Решение: Рассмотрим многочлены 1, , . Они образуют линейно независимую систему. Применим к ним в пространстве процесс ортогонализации Грамма-Шмидта и построим ортонормированную систему полиномов Лежандра , , .

; ;

, ; ;

; ; ;

; .

По теореме о разложении в ряд Фурье отрезок ряда Фурье обладает экстремальным свойством. Значит, будет минимальна, если является проекцией элемента на подпространство, порожденное элементом . По теореме о разложении в ряд Фурье элемента x(t) имеем

.

Поэтому

Аналогично определяется и :

;

;

Задача № 2. В гильбертовом пространстве бесконечных числовых последовательностей найти проекцию вектора на подпространство

Решение: Обозначим через проекцию вектора на подпространство , тогда и , т.е. и .

Из условия ортогональности для определения коэффициентов и получим систему линейных алгебраических уравнений

Рассчитаем коэффициенты системы.

;

;

;

;

;

Система примет вид

,

Решая систему по правилу Крамера, получим

;

Задача № 3. Найти ортогональное дополнение в пространстве бесконечных числовых последовательностей к подпространству . Вычислить расстояние от до .

Решение: Ортогональное дополнение к подпространству L_n представляет собой одномерное подпространство, натянутое на вектор . Действительно, пусть , тогда и . Расстояние от точки x₀ до подпространства вычисляется по формуле . Значит, .

Задача № 4. Доказать, что если

, ,

то при . Будет ли ортогональным дополнением к ?

Решение: Пусть и имеет место формула , тогда . Из этой системы следует, что . Выразим и через . Воспользуемся соотношениями

, тогда .

Таким образом, . не является ортогональным дополнением подпространства ни при каком , т.к. при .

Задание №1. Провести процесс ортогонализации векторов х₁, х₂, х₃ в гильбертовом пространстве , в котором скалярное произведения имеет вид:

.

1.1. ;

1.2. ;

1.3. ;

1.4. ;

1.5. ;

1.6. ;

1.7. ;

1.8. ;

1.9. ;

1.10. ;

1.11. ;

1.12. ;

1.13.

1.14. ;

1.15. ;

1.16. ;

1.17. ;

1.18. ;

1.19.

1.20. ;

1.21. .

Задание №2. В гильбертовом пространстве рассмотрим подпространство L многочленов степени n  4. Для заданной непрерывно-дифференцируемой функции x(t) найти элемент наилучшей аппроксимации ее многочленами u^*(t) подпространства L по норме . Реализовать на ЭВМ алгоритм решениая этой задачи со следующими этапами:

1) вычисление элементов матрицы и правых частей системы по формуле Симпсона с шагом 0.05;

2) решение системы методом Гаусса;

3) проверка правильности алгоритма на примере функции .

2.1. ;	2.8. ;
2.2. ;	2.9. ;
2.3. ;	2.10. ;
2.4. ;	2.11. ;
2.5. ;	2.12. ;
2.6. ;	2.13. ;
2.7. ;	2.14. .

Задание 3. В гильбертовом пространстве L₂ найти проекцию элемента x₀ на подпространство L.

3.1. , ;

3.2. , ;

3.3. , ;

3.4. , ;

3.5. , ;

3.6. ;

3.7. , ;

3.8. ,

;

3.9.

.

Найти к подпространству

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

Найти к подпространству

3.14.

3.15.