3 Основными алгоритмами функционирования считаются:

1) алгоритм стабилизации – это алгоритм функционирования, при котором значение управляемой величины объекта поддерживается неизменным: . Знак » означает, что управляемая величина поддерживается на заданном уровне с некоторой ошибкой. Стабилизирующие системы самые распространенные в промышленной автоматике. Их применяют для стабилизации различных физических величин, характеризующих состояние технологических объектов.

2) программное управление – алгоритм функционирования, при котором управляемая величина объекта изменяется по заранее заданной программе. Системы, реализующие данный алгоритм функционирования называют программными. Программа может быть задана во времени (временное программное управление) и в пространстве (пространственное программное управление). Главной задачей систем программного управления является воспроизведение программы с заданной точностью.

3) следящие системы – алгоритм функционирования следящей системы заключается в том, что выходная величина должна повторять изменение входной величины, причем закон изменения последней заранее неизвестен. Основной задачей следящих систем является точное воспроизведение входной величины при наличии возмущений.

4) алгоритм поиска экстремума – предполагает отыскание и поддержание выходной переменной объекта управления при изменении состояния объекта и возмущений.

5) алгоритм оптимального управления – предполагает достижение наилучших в определенном смысле условий работы объекта управления в переходном режиме при наличии ограничений на входные, выходные величины и переменные состояния объекта.

6) алгоритм адаптации – предполагает такое изменение выходных величин объекта управления, при которых сохраняется заданное качество работы объекта, при этом система может изменять свои параметры и структуру.

4По характеру изменения выходной величины во времени различают следующие режимы движения системы автоматического управления:

- статический;

- динамический.

Статический режим – состояние элемента или системы, при котором выходная величина не изменяется во времени, т.е. y(t) = const.

Очевидно, что статический режим (или состояние равновесия) может иметь место лишь тогда, когда входные воздействия постоянны во времени. Связь между входными и выходными величинами в статическом режиме описывают алгебраическими уравнениями.

Динамический режим – состояние элемента или системы, при котором входная величина непрерывно изменяется во времени, т.е. y(t) = var.

Динамический режим имеет место, когда в элементе после приложения входного воздействия происходят процессы установления заданного состояния или заданного изменения выходной величины. Эти процессы описываются в общем случае дифференциальными уравнениями.

Динамические режимы в свою очередь разделяются на:

- неустановившийся (переходный);

- установившийся (квазиустановившийся).

Неустановившийся (переходный) режим – режим, существующий от момента начала изменения входного воздействия до момента, когда выходная величина начинает изменяться по закону этого воздействия.

Установившийся режим – режим, наступающий после того, когда выходная величина начинает изменяться по такому же закону, что и входное воздействие, т. е. наступающий после окончания переходного процесса.

В установившемся режиме элемент совершает вынужденное движение. Очевидно, что статический режим является частным случаем установившегося (вынужденного) режима при x(t) = const.

2. Передаточные свойства элементов и САУ в статическом режиме описывают с помощью статических характеристик.

Статическая характеристика элемента – зависимость выходной величины y элемента от входной x: y = f(x) = y(x) в установившемся статическом режиме.

Статическая характеристика конкретного элемента может быть задана в аналитическом виде (например, y = kx²) или в виде графика. Как правило, связь между входной и выходной величинами – однозначная. Элемент с такой связью называют статическим (позиционным). Элемент с неоднозначной связью – астатическим.

По виду статических характеристик элементы разделяют на:

- линейные;

- нелинейные.

Линейный элемент – элемент, имеющий статическую характеристику в виде линейной функции: y = b + ax (график 1 рисунка 3.1) .

Н

елинейный элемент – элемент, имеющий нелинейную статическую характеристику. Нелинейная статическая характеристика аналитически обычно выражается в виде степенных функций, степенных полиномов, дробных рациональных функций и более сложных функций.

Нелинейные элементы в свою очередь подразделяют на:

- элементы с несущественно нелинейной статической характеристикой;

- элементы с существенно нелинейной статической характеристикой.

Н

Рисунок 3.1 – виды статических характеристик

есущественно нелинейная (гладкая нелинейная) статическая характеристика – характеристика, описываемая непрерывной дифференцируемой функцией. Практически это математическое условие означает, что график функции y = f(x) должен иметь гладкую форму (график 2 рисунка 3.1). В ограниченном диапазоне изменения входной величины x такая характеристика может быть приближенно заменена (аппроксимирована) линейной функцией. Приближенная замена нелинейной функции линейной называется линеаризацией. Линеаризация нелинейной характеристики правомерна, если в процессе работы элемента его входная величина меняется в небольшом диапазоне вокруг некоторого значения x = x₀ . Наиболее простым способом линеаризации является метод осреднения, который применяется в случае, когда достаточно гладкая характеристика не может быть аппроксимирована аналитической функцией. Метод малых отклонений (приращений) основан на замене нелинейной характеристики у(х) в окрестностях точки О с координатами (х₀, у₀) прямой, касательной в этой точке. Если статическая характеристика описывается аналитической функцией, то линеаризация выполняется путем разложения функции у(х) в ряд Тейлора для выбранной точки разложения.

• 5 Обыкновенное дифференциальное уравнение является наиболее общей и полной формой описания передаточных свойств элементов и систем.

Для элемента имеющего один входной сигнал x(t) и один выходной y(t) обыкновенное дифференциальное уравнение в общем случае имеет вид:

Ф[y(t),y¢(t),…y⁽ⁿ⁾(t);x(t),…x^(m)(t),t] = 0, (3.1)

где t – независимая переменная (обычно время). Для реальных систем m £ n. Это уравнение динамики (движения) элемента. Движения в широком смысле слова, когда под движением понимается любое изменение сигналов.

Дифференциальное уравнение может быть:

- линейное;

- нелинейное.

Линейное дифференциальное уравнение – уравнение, в котором функция Ф линейна по отношению ко всем ее аргументам, т.е. к y(t), y¢(t),… y⁽ⁿ⁾(t); x(t),…x^(m)(t), t.

Нелинейное дифференциальное уравнение – уравнение, в котором функция Ф содержит произведения, частные, степени и т.д. переменных y(t), x(t) и их производных. Например, 0.

В функцию Ф (дифференциальное уравнение) входят также величины, называемые параметрами. Они связывают между собой аргументы (y(t), y¢(t),… y⁽ⁿ⁾(t); x(t),…x^(m)(t), t) и характеризуют свойства элемента с количественной стороны. Например, параметрами являются масса тела, активное сопротивление, индуктивность и емкость проводника и т.д.

Большинство реальных элементов описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, что значительно усложняет последующий анализ САУ. Поэтому стремятся перейти от нелинейных к линейным уравнениям вида:

(3.2)

Для всех реальных элементов выполняется условие m £ n . Коэффициенты a₀, a₁…a_n и b₀, b₁…b_m в уравнении называются параметрами. Иногда параметры изменяются во времени, тогда элемент называют нестационарным или с переменными параметрами. Однако в дальнейших рассуждениях будем рассматривать только элементы с постоянными параметрами.

Если при составлении линейного дифференциального уравнения осуществлялась линеаризация статической характеристики элемента, то оно справедливо лишь для окрестности точки линеаризации и может записываться в отклонениях переменных. Однако, с целью упрощения записи, отклонения переменных в линеаризованном уравнении будем обозначать теми же символами, что и в исходном нелинейном уравнении, но без символа D .

Важнейшим практическим достоинством линейного уравнения является возможность применения принципа наложения, согласно которому изменение выходной величины y(t), возникающее при действии на элемент нескольких входных сигналов x_i(t), равно сумме изменений выходных величин y_i(t), вызываемых каждым сигналом x_i(t) в отдельности.

Для упрощения записи линейных уравнений операцию дифференцирования заменяют символом р (оператором дифференцирования), а операцию интегрирования – символом . Получим операторную форму записи дифференциального уравнения:

, (3.3)

запись которого можно упростить и представить в следующем виде: . (3.4)

6 При приложении к автоматической системе какого-нибудь ограниченного по значению и времени управляющего или возмущающего воздействия (рисунок 6.1а) ее движение может быть различным. Однако условие устойчивости определяет три основных вида движения систем:

1) движение устойчивой системы (рисунок 6.1б);

2) движение неустойчивой системы (рисунок 6.1в);

3) движение нейтральной системы (системы, находящейся на границе устойчивости) (рисунок 6.1г).

Рисунок показывает, что устойчивость системы определяется характером ее движения после прекращения действия входного воздействия (при t>t0).

7 Для характеристического уравнения вида:

, (6.7)

необходимо заполнить таблицу Рауса, содержащую (n+1) строк, где n – степень характеристического уравнения. В первой строке таблицы записываются коэффициенты характеристического уравнения с четными индексами в порядке их возрастания, начиная с a₀. Во второй строке таблицы записываются коэффициенты характеристического уравнения с нечетными индексами в порядке их возрастания, начиная с a₁.

a0	a2	a4	a6	…
a1	a3	a5	a7	…
…	…	…	…	…

Любой из остальных коэффициентов таблицы определяют по формуле:

, (6.8)

где , k – номер столбца таблицы, i – номер строки таблицы.

После заполнения таблицы Рауса можно судить об устойчивости САУ. По критерию Раса: для того, чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели знак одинаковый со знаком a₀ и при a₀ > 0 были бы положительны. Если хотя бы один из коэффициентов первого столбца таблицы Рауса имеет знак «-», то САУ неустойчива, по количеству смен знака у коэффициентов первого столбца таблицы можно судить о количестве «правых» корней характеристического уравнения.

8 Устойчивость САУ по частотному критерию устойчивости Михайлова.

Он позволяет судить об устойчивости системы на основании рассмотрения некоторой кривой, называемой кривой Михайлова.

Критерий Михайлова (1936-1938г.).

Подставляя в характеристический полином:

чисто мнимое значение комплексного переменного s = jw, получаем комплексный полином:

,

где - вещественная (действительная) составляющая комплексного полинома;

- мнимая составляющая комплексного полинома;

- модуль характеристического вектора ;

- фаза (аргумент) характеристического вектора .

При изменении частоты w от нуля до плюс бесконечности вектор , изменяясь по величине и направлению, будет описывать своим концом в комплексной плоскости годограф (кривую) Михайлова. Для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения были «левыми» и должно выполняться условие: . Условие устойчивости САУ по критерию Михайлова можно сформулировать следующим образом: для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частотыw от нуля до плюс бесконечности (0 < w < ∞), начинаясь при ω = 0 на положительной вещественной полуоси, обходил строго против часовой стрелки последовательно n квадрантов комплексной плоскости и в квадранте с номером n уходил в бесконечность, n - степень характеристического уравнения (характеристический вектор должен монотонно поворачиваться против часовой стрелки на угол ).

Для устойчивых систем n-го порядка годограф Михайлова имеет плавную спиралевидную форму. Признаком неустойчивости является: нарушение числа и последовательности пройденных годографом Михайлова квадрантов комплексной плоскости, вследствие чего угол поворота вектора оказывается меньше, чем . Если годограф Михайлова начинается в начале координат, то САУ находится на апериодической границе устойчивости, если годограф Михайлова проходит через начале координат, то САУ находится на колебательной границе устойчивости.