2. Заполняется таблица узлов

Параметры	j
	1	2	3	4	5
Xj
Yj
Wj
Vj
j
Pxj
Pyj

Все параметры задаются в глобальной системе координат.

В случае меньшего чем в шаблоне числа стержней и узлов координаты узлов задаются так, чтобы они не совпадали с началом и концом «лишних» стержней. Координаты начала и конца «лишних» стержней задаются такими, чтобы выполнялось условие l_i 0.

Для удобства анализа и задания параметров ПОИСКА РЕШЕНИЯ неизвестные перемещения узлов выделяются красным шрифтом.

3.2.3 Организовано автоматическое вычисление перемещений начала и конца стержней через перемещения узлов с заполнением таблицы

i	wнi	vнi	нi	wкi	vкi	кi
1
…
n

Для автоматического заполнения таблицы (и других вычислений) введены три вспомогательные функции f1, f2, f3 с заполнением соответствующих вспомогательных таблиц:

,

.

Соответственно с использованием (2а):

4. Организован автоматический расчет сил при растяжении и подготовка к расчету изгиба:

,

,

.

По указанным формулам автоматически заполняются столбцы таблицы.

i	Δwi	Nнi	ki	f4i
1
…
n

Вспомогательная функция f_4i используется ниже для выбора вида решения изгиба

умножением решения при сжатии на (-f_4i), а решения при растяжении - на (f_4i+1).

4. Организуется автоматическое вычисление Q_нi, M_нi

При растяжении вычисления ведутся по формулам («ссылка»),

при сжатии - по формулам («ссылка»).

Значения начальных параметров при этом:

Q_o =Q_нi, M_o = M_нi, φ_o =_нi, v_o =v_нi;

граничные условия:

v(l_i) =v_{кi ,} φ(l_i) =_кi .

Удовлетворяя граничным условиям, приходим к системе линейных алгебраических уравнения относительно Q_нi, M_нi:

,

где:

,

,

,

,

,

Решение системы методом Крамера дает искомые выражения

, .

По приведенным формулам автоматически заполняется таблица

i	a1i	a2i	b1i	b1i	c1i	c1i	Qнi	Мнi	Qкi	Мкi
1
…
n

Формулы для заполнения последних двух колонок приведены в следующем параграфе.

4. Вычисление Q_кi, M_кi

Вычисления ведутся по формулам («ссылка»)

.

После преобразований при z=l_i с учетом соотношения E_iJ_ik_i²=N_нi получаем:

.

4. Организуется автоматическое вычисление сумм сил и моментов в узлах.

Вычисления ведутся по формулам (4)-(5) с учетом вспомогательных функций:

.

Заполняется таблица

j	1	…	m
Rxj
Ryj
Lj

В таблице для удобства формулирования задания на ПОИСК РЕШЕНИЯ выделяются синим цветом шрифта ячейки, в которых необходимо выполнить условия равновесия (равенство нулю).

4. Организация ПОИСКА РЕШЕНИЯ.

Изменяемые ячейки – красные, целевая функция и ограничения – синие.

При β в граничных узлах W_j (или V_j) красные , а V_j (или W_j) вычисляются по формуле (2б); R_yj (или R_xj) синие , а R_xj (или R_yj) вычисляются по формуле (3б). Для минимального изменения шаблона можно ввести дополнительные целевые ячейки и ячейки ограничений.

При правильной постановке задачи количество изменяемых ячеек должно быть равно числу ограничений плюс целевая ячейка. После завершения процедуры ПОИСК РЕШЕНИЯ все искомые величины найдены. Можно вычислять напряжения и анализировать решение.

4. Вычисление нормальных напряжений

Напряжения вычисляются как

.

Откуда максимальные и минимальные напряжения в стержне

, .

Для вычисления максимального значения изгибающего момента стержень разбивается на 20 частей по длине (ξ=0; 0,05; … 1) и в точках z=ξl вычисляется момент по формуле

Заполняется вспомогательная таблица

i	ξ
	0,00	0,05	…	…	…	1,00
1	Mzi
…
n

Значение вычисляется как максимальное по модулю в каждой строке таблицы.

Для удобства анализа загруженности стержней дополнительно вычисляются напряжения от растяжения (сжатия) σ_pi. Автоматически заполняется таблица напряжений

i	σpi
1
…
n

4. Изменение шаблона

   1. Меньшее количество стержней

Описание стержневой системы при n<7, k<5 описано выше. Рекомендуется для отсутствующих узлов задавать

.

2. Для шарнирных узлов

Все углы поворота сечений φ_кi входящих в шарнирный узел и φ_кi выходящих из узла стержней объявляются изменяемыми ячейками (красный шрифт) и задаются в начале равными нулю (функциональная зависимость от перемещений узлов ликвидируется). Угол поворота узла φ_j выводится из варьируемых параметров (шрифт черный, лучше задать равным нулю).

Равновесие моментов узла (L_j) из ограничений исключается. В ограничения добавляются условия равенства нулю моментов входящих стержней M_кi и выходящих M_нi (синий шрифт).

Количество неизвестных в разрешающей системе уравнений увеличивается и, с ростом числа шарнирных узлов, стремится к 2n. Целесообразность применения метода перемещений уменьшается. Лучше перейти к способу 2.1 без ограничений на виды нагружения.

3. Фермы

Если все узлы шарнирные и нет поперечных нагрузок на стержни, то алгоритм может быть существенно упрощен.

Все M_нi и M_кi равны нулю и не вычисляются.

Стержень поворачивается, но не изгибается, т.е.

.

Эта формула вводится в соответствующие ячейки.

Поскольку момент в сечениях не изменяется

,

следовательно

.

Эта зависимость вводится в соответствующие ячейки.

Условия равновесия узлов из ограничений исключаются. Углы поворота узлов исключаются из изменяемых параметров.

Число неизвестных в задаче <2k.

Пояснение. Количество неизвестных уменьшается на 1/3, так как в каждом стержне исключается два неизвестных начальных параметра – угол поворота выражается через перемещения, а момент равен нулю.

4. Оптимизация веса стержневой системы

Вводится целевая функция (объем стержневой системы) , ограничения напряжений в стержнях и в изменяемые ячейки добавляются параметры, определяющие размеры сечения.

В рассматриваемом примере (см. ниже) для прямоугольного сечения выбран варьируемый параметр – ширина сечения, максимально допустимые напряжения для каждого стержня (ограничения). Начальная ширина сечения задана 25 мм. После выполнения процедуры поиска решения для каждого стержня выбрана ширина, соответствующая заданным допустимым напряжениям 80 Мпа. Получена экономия веса от начального значения – 19,8%

10