2. Метод определителей (метод Крамера).

Найдем определитель системы (см. п. 1). Так как , то по теореме Крамера система имеет единственное решение.

Вычислим определители матриц , полученных из матрицы , заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

, , .

Решение системы находим по формулам:

, , ,

откуда получаем

.

3. Метод Гаусса.

Замечание 1.1. Напомним, что метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Преобразования Гаусса удобнее проводить не с самими уравнениями системы, а с матрицей их коэффициентов, то есть со строками расширенной матрицы системы.

К элементарным преобразованиям относятся:

1) перестановка местами двух строк матрицы;

2) умножение всех элементов строки на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.

Расширенная матрица исходной системы имеет вид

.

Для удобства преобразований, поменяем в расширенной матрице первую и вторую строки:

.

Далее умножаем первую строку на и прибавляем ко второй строке, потом умножаем первую строку на и прибавляем её к третьей строке. Третью строку полученной матрицы поделим на :

Вторую строку последней матрицы прибавляем к третьей, в результате получим

.

Запишем систему уравнений, соответствующую преобразованной матрице коэффициентов:

.

Из последнего уравнения находим ; подставляем найденное значение во второе уравнение системы: , , и из первого уравнения: , .

Таким образом, решение системы: .

Замечание 1.2. Вспомним некоторые понятия и формулы векторной алгебры, которые будут нужны нам для решения следующих задач.

Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством

,

(1.3)

где - угол между векторами и .

Формула (1.3) позволяет вычислять косинус угла между векторами:

,

(1.4)

где , .

Если , , , то .

Алгебраической проекцией вектора на вектор называется число .

Векторным произведением двух векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим трем условиям:

1. ,

2. вектор перпендикулярен векторам и ,

3. векторы , , образуют правую тройку.

.

(1.5)

Геометрически равен площади параллелограмма, построенного на векторах и :

.

Смешанным произведением векторов , , называется число . Если , , , то

.

(1.6)

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , , .

Пример 1.3. Точки , , - вершины треугольника. Найти его внутренний угол при вершине .

Решение. Угол треугольника при вершине образован векторами и (рис.1.1). Их координаты найдем, вычитая из координат концов координаты начала:

	, = , их длины равны: , . Из формулы (1.4) , откуда .
рис. 1.1

Пример 1.4. Даны координаты вершин пирамиды : , , , . Найти: 1) площадь грани ; 2) объем пирамиды ; 7) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины (рис. 1.2).

Решение. 1. Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах , , то есть половине модуля векторного произведения:

	. Найдем координаты векторов и : , = . Из формулы (1.5) . .
рис. 1.2

2. Объем пирамиды равен объема параллелепипеда, построенного на векторах , , . Вектор . Используя формулу (1.6), получаем

.

3. Найдем высоту пирамиды . Воспользуемся формулой , откуда

.

Пример 1.5. Даны координаты вершин пирамиды : , , , . Найти: 1) канонические и параметрические уравнения прямой ; 2) уравнение плоскости ; 3) уравнение высоты пирамиды, опущенной из вершины ; 4) угол между ребром и плоскостью .

Решение. 1. Канонические и параметрические уравнения прямой .

Канонические уравнения прямой имеют вид:

,

(1.7)

где - точка, принадлежащая прямой , - направляющий вектор прямой, то есть вектор ей коллинеарный.

Пусть , то есть координаты точки . В качестве направляющего вектора возьмем вектор , . Из формулы (1.7):

- канонические уравнения прямой .

Параметрические уравнения прямой получим, приняв за параметр равные отношения в уравнениях (1.7):

,

откуда получим:

-

параметрические уравнения прямой в пространстве.

Для прямой :

,

-

параметрические уравнения прямой .

2. Уравнение плоскости .

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки:

,

где - координаты -й точки плоскости, .

Для плоскости :

.

Уравнение плоскости : .

3. Уравнение высоты пирамиды, опущенной из вершины .

Воспользуемся формулой (1.7). В качестве точки возьмем координаты точки , то есть . Так как высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания, то в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор нормали плоскости , то есть вектор . Подставляя в (1.7), окончательно получаем

.

4. Угол между ребром и плоскостью .

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Нормальный вектор плоскости - вектор , в качестве направляющего вектора прямой возьмем вектор , тогда

,

, .

Замечание 1.4. Канонические уравнения некоторых кривых и их графики представлены в следующей таблице:

Окружность:	Эллипс:
Гипербола:
Парабола:

Пример 1.5. Используя преобразования параллельного переноса, привести уравнения линий второго порядка к каноническому виду и построить кривые:

1) ; 2) .

Решение. Приведем уравнения кривых к каноническому виду, используя метод выделения полных квадратов.

1. .

Сгруппируем слагаемые: , вынесем соответствующие общие множители за скобки , выражения в скобках дополняем до полных квадратов:

,

,

,

.

Обозначим , , получим уравнение эллипса в новой системе координат , полученной из старой параллельным переносом в точку . Сделаем чертеж (рис. 1.3).

2. . Рассуждая аналогично п.1, получаем

, , , .

Обозначим , , получим уравнение параболы в новой системе координат , полученной из старой параллельным переносом в точку . Сделаем чертеж (рис. 1.4).

рис. 1.3	рис. 1.4