2 Принципи побудови математичних моделей в нафтогазовій механіці

Диференційні рівняння руху в більшості випадків можуть бути виведені, виходячи з двох основних законів – збереження маси і збереження енергії.

Перед тим, як перейти до формулювання основних законів фізики стосовно до течії рідини, пояснимо ті терміни і позначення, які є в тексті.

2.1 Основні поняття

Через u позначимо швидкість руху частинки. Причому, якщо рух усталений, то , де – віддаль від точки, яка рухається, до деякого початку . При такому записі задається залежність (функціональна) швидкості точки, що рухається, від її положення, тобто від значення місцезнаходження частинки ( її віддалі від початку відліку ). За допомогою можемо визначити її швидкість. Так, наприклад, при вільному падінні частинки масою з висоти в середовищі, опором якого нехтуємо, швидкість частинки в залежності від її положення визначається формулою

, (2.1)

де – віддаль частинки від поверхні землі (від початку відліку ).

Надаючи різних значень , у формулі (2.1) можна знайти швидкість частинки, яка падає, на різних віддалях від поверхні землі. При визначенні швидкості частинки в різних її положеннях (її віддалях від поверхні землі) ; та ін. досить у формулі (2.1) замінити на , та ін. Якщо, наприклад, , то за формулою (2.1) - швидкість частинки у положенні , а - швидкість частинки у положенні (рисунок 2.1).

Таким чином, або визначає швидкість частинки, яка знаходиться на віддалі від початку відліку. Точно також визначає швидкість тієї ж частинки на віддалі від початку відліку. Зміна швидкості частинки при переході з положення в положення визначається рівністю

. (2.2)

У подальшому будемо називати приростом функції, а – приростом аргументу. При цьому малим значенням відповідають малі значення . Іншими словами, якщо , то .

Необхідно зауважити, що також є функцією , тобто при одному і тому ж прирості приріст функції для різних точок і не буде рівним.

Так як у подальшому приймемо , то зупинимося на визначенні знаку приросту функції .

Якщо , тобто, наприклад, швидкість в точці більша, ніж у точці , то і швидкість точки зростає. Якщо ж , тобто значення функції (в нашому прикладі значення швидкості) у точці більше, ніж в точці , то , і функція, що розглядається, спадає.

Рисунок 2.1 – Рух частинки при падінні

Таким чином, у всьому інтервалі, де , функція росте, а де - вона спадає. На рисунку 2.2 в інтервалі функція зростає, і, отже, в усіх точках цього інтервалу , а в інтервалі вона спадає і, отже, .

Відношення характеризує швидкість зміни функції в залежності від на відрізку . Щоб знайти характер зміни в даній точці , необхідно обчислити

. (2.3)

Формула (2.3) характеризує швидкість зміни у залежності від . Вона дає похідну від функції по аргументу . Якщо функція є залежністю швидкості від положення рухомої точки, то дає значення градієнта швидкості у напрямі осі , тобто характеризує швидкість (і характер) зміни швидкості. Якщо , то швидкість на шляху зростає, якщо ж , то вона зменшується.

Чим більша абсолютна величина , тим більша зміна швидкості в точці . Таким чином, якщо на деякому інтервалі додатна величина, то це означає зростання функції , а якщо від'ємна велиична, то – зменшення. Якщо ж в деякій точці має місце , то в цій точці функція досягає або свого максимуму (точка переходу від зростання до зменшення), або свого мінімуму (точка переходу від зменшення до зростання).

Рисунок 2.2 – Характер зміни функції

При неусталеному русі, коли швидкість частинки, що рухається, не тільки змінюється при переході з одної точки до іншої, але і у кожній точці змінюється у часі, позначимо через швидкість точки, яка знаходиться на віддалі від початку відліку у момент часу . Точно також через позначимо швидкість тієї ж частинки у момент часу . Таким чином, буде означати швидкість точки, яка знаходиться на віддалі від початку відліку у момент часу , і, нарешті, - швидкість частинки у точці у момент часу .

Необхідно особливо зауважити, що, у загальному випадку, , , і між собою не рівні, але усі вони будуть прямувати до величини при і . У нашому прикладі і відповідають значенням швидкості частинки на віддалі від початку відліку у моменти часу і . Тому є приростом швидкості частинки в даній точці за проміжок часу . Точно також є різниця швидкостей частинок, які характеризуються у точках х і у момент часу . Іншими словами, характеризує зміну швидкості у часі в даній фіксованій точці , а - зміну швидкості у даний момент часу у різних точках і . При цьому і будуть залежати від і .

Якщо , то у даній точці швидкість частинки з часом росте, якщо ж , то вона зменшується.

Аналогічно , то швидкість у точці у даний момент часу більша, ніж в точці , якщо ж , то швидкість у точці більша, ніж у точці . Відзначимо, що і в цьому випадку при величина і при величина .

Характер зміни у різних точках у даний момент часу можна виразити формулою

. (2.4)

Ця рівність являє собою часткову похідну від функції по у даний момент часу , яка характеризує поведінку функції ( її зростання чи зменшення, а також швидкість зміни ) вздовж осі в даний момент часу .

Також

, (2.5)

є частковою похідною від функції за часом у фіксованій точці , яка характеризує поведінку функції ( її зростання чи зменшення, а також швидкість зміни у часі в розглядуваній точці ).

Таким чином, якщо , то в усіх розглядуваних точках функція росте у часі, якщо ж , то – спадає. Також, якщо , то в даний момент часу вздовж осі функція росте, а при , спадає.

Ще раз зауважимо, що за допомогою формули (2.4) визначається зміна швидкості (функція вздовж осі у даний фіксований момент часу ), а за допомогою формули (2.5) – зміна швидкості (функція в часі у даній фіксованій точці ). Іншими словами, при одержанні формули (2.4) час рахуємо фіксованим, а при одержанні формули (2.5) значення рахується фіксованим. Тому

(2.6)

означає зміну швидкості (функція ) уздовж осі у даний момент часу . Причому при формули (2.5) і (2.6) співпадають. Отже,

(2.7)

означає зміну швидкості (функція в часі у даній фіксованій точці . Причому при формули (2.5) і (2.7) співпадають.

З математичного аналізу відомо, що, якщо

, (2.8)

то

, (2.9)

де при , тобто при малих значеннях величина як завгодно мала.

Перепишемо (2.9) у вигляді

. (2.10)

Так як - величина кінцева і не залежить від , то при малих значеннях другий член у правій частині формули (2.10), тобто , є мала величина більш високого порядку, ніж перший член . Тому, нехтуючи величиною у порівнянні з і позначаючи для значень , з формули (2.10) одержимо

. (2.11)

Таким же чином з формули (2.7) знаходимо

. (2.12)

Нижче наведемо деякі відомості з векторного числення, необхідні при подальшому поданні матеріалу.

Векторна величина а визначається в загальному випадку трьома проекціями на осі декартової системи координат, тобто

, (2.13)

де - одиничні вектори відповідно осей , і .

Величину знаходимо за формулою

. (2.14)

Градієнт скалярної величини (grad) є вектором, направленим по нормалі до поверхні . Наприклад, в випадку плоско-радіальної фільтрації нестискуваної рідини (одиночна циліндрична свердловина в центрі круглого циліндричного пласта ) градієнт тиску направлений по радіусу, так як поверхні рівного тиску – циліндричні кола. Градієнт скалярної величини виражається формулою

, (2.15)

де - проекції вектора відповідно на осі , і , отже

. (2.16)

Широко застосовується в нафтопромисловій механіці і поняття скалярної величини – дивергенції векторної величини

, (2.17)

де , i – проекції на осі , і .

Виходячи з визначення дивергенції і градієнта маємо

. (2.18)

Знак (набла в квадраті), або (дельта), носить назву оператора Лапласа.