3 Объемные взаимодействия и переходы глобула - клубок.

Все виды взаимодействий между атомами независимо от их физической природы при формировании различных макромолекулярных связей можно разделить на 2 основных типа:

взаимодействия ближнего порядка между атомами соседних звеньев;

дальние взаимодействия между атомами, которые хотя и отстоят по цепи далеко друг от друга, но случайно встретились в пространстве в результате изгибов цепи.

В качестве простейшей модели биополимера рассмотрим свободно-сочлененную цепь. Будем считать, что цепь состоит из ряда прямолинейных сегментов, каждый из которых включает определенное число отдельных звеньев. Внутри каждого сегмента сохраняется абсолютная корреляция в ориентации звеньев. При этом между сегментами эта корреляция полностью отсутствует.

Радиус-вектор  между концами цепи может быть представлен в виде суммы отдельных векторов l_i, характеризующих каждый сегмент. Число сегментов должно быть достаточно большим (не меньше 80), чтобы можно было корректно использовать статистические подходы. и может внутри него принимать любые значения. Вероятность того, что определенный сегмент находится в определенном положении относительно другого сегмента, может быть выражена через функцию распределения W_a вектора расстояний между сегментами цепи. Функция W_a называется функцией распределения величины a или плотностью вероятности нахождения данного значения a, если произведение W_ada равно вероятности нахождения значения переменной a в интервале от a до a+da:

.

В термодинамике строго доказывается, что для достаточно длинной свободно-сочлененной цепи, находящейся в термодинамическом равновесии с окружающей средой, функция распределения является гауссовой.

Для определенности введем систему координат, в начало которой поместим начало цепи.

, ,

.

Функции распределения координат x, y, z конца цепи являются гауссовыми.

Так как x, y, z являются независимыми, то вероятность попадания конца цепи в элемент объема  окрестности точки (x, y, z) равна произведению трех независимых событий, следовательно:

.

Для ансамбля, состоящего из n молекул, произведение W_tdt равно относительной доли молекул (dn/n), конец которых попадает в элемент объема d при закреплении всех цепей в точке (0,0,0). Вероятность того, что  имеет длину  , не зависит от направления  и пропорциональна произведению W_t на элемент объема шарового слоя  , в котором находятся концы всех векторов длиной от h до h+dh или:

То есть произведение W_hdh равно относительному числу молекул (dn/n), для которых длина вектора  заключена в интервале от h до h+dh.

В соответствии с этим распределением принято различать следующие статистические характеристики свободного состояния цепи.

Среднее значение длины цепи h:

.

Наиболее вероятное значение длины свободно-сочлененной цепи:

.

Среднеквадратичное значение:

.

В полимерной цепи, где все валентные углы, соединяющие сегменты, фиксированы и одинаковы, а вокруг всех одинарных связей разрешено свободное вращение, для среднеквадратичного значения имеем следующее выражение:

.

Каждое макросостояние полимера характеризуется определенными значениями молекулярных параметров и может осуществляться большим количеством микросостояний (конформаций). Тепловое движение и вращение вокруг одинарных связей (пептидных) должно приводить к значительной свернутости цепи и образованию клубка.

Гибкость биополимеров

Сворачиваемость цепи в клубок определяется термодинамической гибкостью: чем больше гибкость, тем меньше h². В растворе наиболее вероятная конформация полимера - свернутый клубок, в котором энтропия системы максимальна. При растяжении полимеров происходит развертывание клубка и уменьшение размера возможных конформаций, что сопровождается уменьшением энтропии.

,

где w - термодинамическая вероятност, kБ - константа Больцмана.

.

Cила, необходимая для растяжения полимерной цепи:

,

где U - внутренняя энергия. В первом приближении внутренняя энергия не зависит от конформаций, поэтому:

(сила линейно зависит от размеров)

Объёмное взаимодействие. Переходы глобула - клубок в биополимерах.

Геометрические размеры задаются с помощью среднеквадратичного расстояния биополимера - h². Внутренняя пространственная структура задаётся пространственным распределением плотности звеньев. Вследствие объёмного взаимодействия, число звеньев в пространстве может меняться от точки к точке.

В полимерных нитях, вследствие взаимосвязанности звеньев, изменение плотности в одной точке пространства связано с изменением плотности в другой точке, то есть существует пространственная корреляция плотности. Если в макромолекуле отсутствует объёмное взаимодействие, то она не имеет достоверной пространственной структуры. В этом состоянии флуктуация (изменение вероятности) плотности имеет значение того же порядка, что и сама плотность. Такое состояние носит название клубка. Радиус корреляции , то есть характерное расстояние, в пределах которого плотность звеньев резко меняется, становится того же порядка, что и размеры макромолекулы R:

( ~R, R~ , ).

Наличие объёмных взаимодействий может привести к такому состоянию, в котором флуктуация плотности мала по сравнению с самой плотностью. Такое плотное образование называется глобулой. В нем радиус корреляции флуктуации плотности намного меньше размеров молекулы  <<R. Глобула в отличие от клубка обладает компактной пространственной структурой. Сердцевина большой глобулы примерно однородна, с постоянной концентрацией звеньев n0.

Условия существования клубка и глобулы.

Вследствие объёмных взаимодействий сблизившиеся участки могут притягиваться или отталкиваться. Повышение температуры приводит к увеличению отталкивания между мономерами, а понижение - к сближению. Существует температура, при которой отталкивание компенсируется притяжением. Эта температура называется  -точкой или  - температурой. В этой точке объёмное взаимодействие отсутствует, и макромолекула представляет собой клубок с размерами порядка l*N^1/2. Клубок сохраняется при повышении температуры выше точки  . В области t> из-за увеличения сил отталкивания размеры клубка возрастают, т.е. R>l*N^1/2, тогда линейные размеры макромолекулы можно выразить формулой

( - характерный размер без учета объёмного взаимодействия,  - коэффициент набухания молекулы.

В области  , >1 и  =1 при = t. В сильных растворителях притяжение электронов цепи и растворителя больше, чем звеньев цепи, что равносильно повышению их взаимного отталкивания, т.е.  >1. При температурах t <  во взаимодействиях преобладают силы притяжения, которые могут привести к конденсации клубка в плотную, слабо флуктуирующую глобулу. Эта глобула стабилизируется самосогласованно со сжимающим полем, обусловленным силами притяжения между мономерами. Примером перехода глобулы в клубок может служить зависимость вязкости раствора полиглутаминовой кислоты от её кислотности.

В реальных макромолекулах объёмное взаимодействие в отсутствие внешнего воздействия создаёт самосогласованное поле, приводящее к образованию глобулы. Характер распределения плотности имеет другой вид:

Профиль плотности - размытые ступеньки, в сердцевине - постоянная концентрация звеньев n0. Для данного графика R~N^1/3, - радиус корреляции.