Показатели рядов распределения. Средние величины.

Средняя величина – обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчёте на единицу качественно однородной совокупности.

Средние величины:

1. степенные (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратичная);

2. структурные (мода, медиана).

Степенные средние величины.

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объём варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных её единиц.

• Простая;

• Взвешенная.

Простая – рассчитывается для несгруппированных данных.

x_i – индивидуальные значения признака.

Для сгруппированных данных рассчитывается взвешенная средняя арифметическая:

f – частота, вес.

При расчёте средней арифметической в интервальных рядах распределения в качестве x_i используется середины интервалов.

Свойства средней арифметической.

1. если все индивидуальные значения признака уменьшить или увеличить в А раз, то уменьшится или увеличится в А раз.

2. если все x_i уменьшить или увеличить на число А, то уменьшится или увеличится на А.

3. если веса вариантов( f_i) уменьшить или увеличить в К раз, то не изменится.

4. а– общий множитель.

5. x=c=const .

6. 

7. .

Средняя гармоническая используется, если статистическая информация не содержит частот по вариантам х и представлена в виде .

Обозначим подставляя в формулу средней арифметической, получим:

Пример: цена за товар(х) и выручка(w) в разных магазинах. Средняя цена - ?

Средняя геометрическая используется в случае, когда индивидуальные значения признака являются относительными величинами динамики.

Средняя квадратическая используется, если признак выражен в квадратных или кубических единицах измерения( например средняя величина стороны квадратных участков,…)

- правило мажорантности средних.

Структурные средние.

Используются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака.

Мода (Мо) – значение средней величины, встречающееся с наибольшей вероятностью. В дискретном вариационном ряду – вариант с максимальной частотой. В интервальных рядах распределения с равными интервалами:

, где - нижняя граница модального интервала, - величина модального интервала.

Модальный интервал – интервал с максимальной частотой.

Медиана (Ме) – значение признака, который находится в середине ранжированного ряда.

В ранжированных рядах несгруппированных данных медиана определяется:

1. Для нечетного объема: .

2. Для четного объема: .

В интервальных рядах:

- нижняя граница медианного интервала (по накопленным частотам).

- суммарная частота, накопленная до начала медианного интервала.

Графическое определение моды и медианы.

Медиану определяем по кумуляте. Высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делим пополам. Через эту точку проводим прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Абсцисса этой точки – медиана.

Моду определяем по гистограмме. Для этого – правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения – мода.

Mo

Показатели вариации.

К абсолютным показателям вариации относятся:

Размах вариации - .

Используется для однородных совокупностей.

Среднее линейное отклонение - , для несгруппированных данных; , для сгруппированных данных.

Для интервального ряда х_j=х_j^’ – центральные значения интервалов.

Дисперсия - для несгруппированных данных , или

Для сгруппированных данных: .

Свойства дисперсии:

1. Если с=const , то .

2. Если все варианты значений признака изменить на одно и то же число, то дисперсия не изменится.

3. если все варианты значений признака уменьшить в к раз, то дисперсия уменьшится в к² раз.

Среднее квадратичное отклонение - .

Для интервальных рядов берём центральные значения интервалов.