3. Рівняння лінії на площині.

Розглянемо співідношення виду

, (6.6)

яке зв'язує дві змінні x і y.

Означення. Співвідношення (6.6) називається рівнянням лінії (у вибраній системі координат), якщо його задовольняють координати x і y будь-якої точки, що лежить на цій лінії і не задовольняють координати жодної точки, яка не лежить на ций лінії.

Із цього означення випливає, що сама лінія являє собою геометрічне місце точок площини, координати яких задовольняють її рівнянню.

Поняття рівняння лінії дає можливість розв'язувати геометричні задачі алгебраїчними методами. Наприклад, задача знаходження точки перетину двох ліній, заданих рівняннями x+y=0 i x²+y²=1, зводиться до алгебраїчної задачі розв'язування системи цих рівнянь.

Лінію можна задати рівнянням такого виду:

F(r,j)=0, (6.7)

де (r,j) - полярні координати точки.

Розглянемо ще один спосіб задання лінії на площині: параметричний. Нехай в заданій системі координат 0xy визначені дві функції від одного параметра t:

(6.8)

Домовимося величини x i y для кожного значення t розглядати як координати деякої точки М. При зміні t величини x i y, взагалі кажучи, теж змінюються і, таким чином, точка М буде переміщатися по площині.

Означення. Рівності (6.8) називаються параметричними рівняннями траєкторії точки М; аргумент t називається змінним параметром (у задачах з механічним змістом t - час).

Розглянемо приклади рівнянь деяких ліній:

Приклад 1. x-y=0. Записавши це рівняння у виді y=x, робимо висновок, що множина точок, координати яких задовольняють це рівняння, являє собою бісектрису I i III координатних кутів. Це і є лінія, яка визначається рівнянням x-y=0. (рис. 6.6).

Приклад 2. r=a×cosj , де а - додатне число, r і j - полярні координати. Позначимо через М точку з полярними координатами (r,j), через А - точку з полярними координатами (а, 0) (рис. 6.7). Якщо r=a×cosj, де 0<j<p/2, то кут 0МА - прямий і, навпаки. Тобто рівняння r=a×cosj визначає множину точок, яка є колом з діаметром а і з центром у точці (а/2;0).

Приклад 3.

Ці рівняння є параметричними рівняннями кола з центром в початку координат і з радіусом r. Насправді, піднісши до квадрату ці рівняння і додавши їх почленно, одержимо рівняння кола x²+y²=r², відоме нам ще зі школи.

6.4. Пряма лінія на площині. Її рівняння.

Пряма лінія - це одне із основних питань геометрії. Із шкільного курсу геометрії ми знаємо, що пряму можна задавати по різному. В залежності від способу задання розглядають різні види її рівнянь.

1. Загальне рівняння прямої. Нехай в системі координат 0xy задано точку М₀(x₀,y₀), що належить прямій і вектор перпендикулярний до прямої (l) (рис. 6.8). Щоб скласти рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора, візьмемо на цій прямій довільну точку M(x,y) і розглянемо вектор . Незалежно від положення точки М на прямій (l) вектори і будуть перпендикулярними. Отже за умовою перпендикулярності двох векторів: .

Запишемо скалярний добуток в координатній формі:

A(x-x₀)+B(y-y₀)=0 (6.9)

Розкриємо дужки і позначимо сталий вираз (-Ax₀-By₀) через С. Тоді рівняння (6.9) набуває виду:

Ax+By+C=0 (6.10)

Рівняння (6.10) називається загальним рівнянням прямої. Вектор називається нормальним вектором прямої.

Проведемо дослідження загального рівняння прямої, тобто розглянемо випадки, коли рівняння (6.10) є неповним:

а) нехай вільний член С=0, тоді рівняння має вигляд Ax+By=0. Очевидно, що точка (0.0) задовольняє це рівняння. Отже в даному випадку пряма проходить через початок координат.

б) нехай коефіцієнт при х А=0, тоді рівняння має вигляд By+C=0 або . Зрозуміло, що пряма пройде паралельно до осі 0х.

в) нехай другий коефіцієнт В=0, тоді рівняння буде Ах+С=0 або і пряма пройде паралельно до осі 0y.

г) нехай А=0 і С=0, тоді рівняння буде Вy=0 або y=0.

Одержали рівняння осі абсцис.

д) нехай В=0 і С=0, тоді рівняння буде Ах=0 або х=0.

Одержали рівняння осі ординат.

Висновок. Будь-яке рівняння першого степеня відносно x i y визначає пряму на площині і навпаки.

6.4.2. Канонічне рівняння прямої. Нехай задано точку М₀(x₀,y₀), яка належить прямій (l) і вектор , паралельний до прямої (рис. 6.9), що однозначно визначає пряму на площині.

Щоб скласти її рівняння візьмемо на прямій довільну точку M(x,y) і розглянемо вектор . Незалежно від положення точки М на прямій вектори і будуть колінеарними. А за умовою колінеарності маємо:

(6.11)

Рівняння (6.11) називається канонічним рівнянням прямої. Вектор називається напрямним вектором прямої.

Зауваження. Якщо пряма (l) проходить через точку М₀(x₀,y₀) паралельно до осі 0y, то її рівняння має вид х=х₀, її напрямний вектор також паралельний до осі 0y і його проекція на вісь 0х буде дорівнювати нулю. Отже . І в цьому випадку формально будемо записувати рівняння прямої у виді (6.11):

Аналогічно, канонічне рівняння прямої паралельної до осі 0х, записується в виді:

6.4.3. Рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямку. В'язка прямих. Нехай на площині задано пряму (l), яка перетинає вісь 0х в деякій точці М₁ (рис. 6.10). Кутом a між віссю 0х і прямою (l) називають найменший кут, на який треба повернути навколо точки М₁, проти руху годинникової стрілки вісь 0х до суміщення її з прямою.

Якщо пряма співпадає з віссю 0х або паралельна їй, то кут a=0.

Розглянемо пряму (l), не паралельну до осі 0y. Її положення однозначно визначається заданням кута a і точкою М₀(x₀,y₀), що належить цій прямій. За напрямний вектор цієї прямої візьмемо одиничний вектор , який утворює з віссю 0х той самий кут a. Очевидно, що , тоді . Тому в рівнянні (6.11) підставивши m=cosa, n=sina, одержимо

.

Розв'яжемо це рівняння відносно y-y₀:

Позначимо tga=k, тоді останнє рівняння прийме вид:

(6.12)

Рівняння (6.12) назвається рівнянням прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямі. Число k=tga називається кутовим коефіцієнтом прямої.

Зауваження. Якщо пряма проходить через точку М₀(x₀,y₀) паралельно до осі 0y , то для неї кутовий коефіцієнт не визначений і рівняння прямої не може бути записаним у виді (6.12). В цьому випадку воно має вид: х=х₀.

Множину прямих на площині, що проходять через задану точку М₀(x₀,y₀), називають в'язкою прямих, а точку М₀ - центром в'язки.

Припустимо, що в рівнянні (6.12) координати точки М₀ залишаються не змінними, а кутовий коефіцієнт k приймає різні (довільні) значення. Тоді кожному значенню k буде відповідати певна пряма, що проходить через точку М₀. І навпаки, будь-яка пряма, що проходить через точку М₀, за виключенням прямої х=х₀, має цілком визначений кутовий коефіцієнт k, а отже визначається рівнянням (6.12).

Таким чином, рівняння (6.12), в якому k приймає всі можливі значення, визначає в'язку прямих з центром в точці М₀(x₀,y₀) за виключенням прямої х=х₀.

6.4.4. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Нехай пряма утворює кут a з віссю 0х (рис. 6.11) і перетинає вісь 0y в точці М₀(0,b), тобто пряма проходить через точку М₀(0,b) з координатами х₀=0, y₀=b. Підставивши ці значення в рівняння (6.12), одержимо:

y=kx+b (6.13)

Рівняння (6.13) називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом, де k - кутовий коефіцієнт прямої, а b - відрізок, який відтинає пряма на осі 0y. Частинний випадок випливає з рівняння (6.13), коли пряма проходить через початок координат, тобто b=0. Тоді рівняння прямої набуває виду:

y=kx. (6.14)

6.4.5. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Нехай задані дві точки М₁(x₁,y₁) i M₂(x₂,y₂), що належать одній прямій (l). Складемо канонічне рівняння прямої, що проходить, наприклад, через точку М₁(x₁,y₁) з напрямним вектором Підставивши в рівняння (6.11) m=x₂-x₁, n=y₂-y₁ одержимо

(6.15)

Рівняння (6.15) називається рівнянням прямої, що проходть через дві задані точки.

6.4.6. Рівняння прямої у відрізках. Нехай пряму (l) задано за допомогою двох відрізків, які вона відтинає на осях 0x i 0y (рис. 6.12). Позначимо їх через а на осі 0х і b на осі 0y. Очевидно, що пряма в цьому випадку проходить через дві точки

М₁(а,0) і М₂(0,b). Підставивши ці координати в рівняння (6.15), одержимо

або , і остаточно:

(6.16)

Рівняння (6.16) називається рівнянням прямої у відрізках. Це рівняння зручно використовувати при побудові прямої.

Приклад. Побудувати пряму, задану загальним рівнянням 3x-5y+15=0. Запишемо це рівняння у відрізках:

Відклавши відрізки на відповідних осях ( з урахуванням знаків) будуємо пряму (рис. 6.13).

6.4.7. Нормальне рівняння прямої. Нехай задано пряму (l) (рис. 6.14.). Проведемо через початок координат пряму n перпендикулярно до прямої (l), яку будемо називати нормаллю до заданої прямої. Позначимо через N точку перетину нормалі з прямою. На нормалі введемо напрям і виберемо на ній одиничний вектор ; де a - кут, який утворює нормаль з додатним напрямом осі 0х. Довжину відрізка 0N позначимо через р. Будемо вважати, що в даному випадку пряму задано за допомогою двох величин a і р. Щоб одержати рівняння прямої (l), виберемо на ній довільну точку М(х,y). Зауважимо, що де б не містилася на прямій точка М її радіус-вектор має одну і ту саму проєкцію на нормаль, а саме:

або .

Враховуючи, що , одержимо рівняння:

(6.17)

Рівняння (6.17) називається нормальним рівнянням прямої. Враховуючи структуру рівняння (6.17), зазначимо, що для нормального рівняння мають місце дві властивості: сума квадратів коефіцієнтів при х і у дорівнює одиниці і перед вільним членом має стояти знак мінус. Геометричний зміст вільного члена р в нормальному рівнянні полягає в тому, що він вказує, на якій відстані від початку координат проходить пряма (l). Якщо р=0, то пряма проходить через початок координат.