Школа (классы) с углубленным изучением предмета

Экзаменационные билеты составлены на основе программы по геометрии для школ (классов) с углубленным изучением предмета и не «привязаны» ни к какому конкретному учебнику. Билеты рассчитаны на учащихся, имеющих не менее трех часов в неделю по геометрии в течение VIII и IX классов.

Билет включает в себя три вопроса, относящихся к разным темам курса: первый и второй вопросы носят теоретический характер, в третьем – экзаменующемуся предлагаются две задачи.

Для получения высшей оценки необходимо доказать не менее двух теорем и решить одну задачу.

Билет № 1

1. Свойства равнобедренного треугольника, теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.

2. Зависимость между стороной правильного многоугольника и радиусом описанной и вписанной окружности (вывод формулы). Установление этой зависимости для квадрата, правильного треугольника, шестиугольника.

3. Задача по теме «Подобие треугольников»:

а) одна из сторон треугольника равна 8, а два из его углов равны соответственно 30° и 45°. Найдите все возможные значения периметра треугольника;

б) один из углов треугольника 150°, а две из его сторон равны 2 и 7. Найдите все возможные значения площади треугольника.

Билет № 2

1. Признаки равенства треугольника (доказательство всех признаков).

2. Деление отрезка на n равных частей (с обоснованием).

3. Задача по теме «Вписанная окружность»:

а) в треугольнике АВС углы А и В равны 38° и 86° соответственно. Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания сторон с вписанной в АВС окружностью;

б) в треугольнике АВС известно, что АВ = с, АС = b, ВС = а. Найдите длины каждого из шести отрезков, на которые разбивают стороны треугольника точки касания вневписанных окружностей.

Билет № 3

1. Пропорциональные отрезки в круге.

2. Вывод формулы для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника.

3. Задача по теме «Метод координат»:

а) напишите уравнение всех прямых, отсекающих от окружностей х² + y² = 25 хорду длины 6;

б) найдите геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до вершин равностороннего треугольника равна квадрату периметра этого треугольника.

Билет № 4

1. Параллельные прямые (определение). Признаки параллельности двух прямых и доказательство всех.

2. Нахождение гипотенузы, катета и острого угла прямоугольного треугольника по данным его второго катета и острому углу.

3. Задача по теме «Углы в окружности»:

а) в окружность вписан одиннадцатиугольник, одна из сторон которого равна радиусу окружности, а остальные десять сторон равны между собой. Найдите углы одиннадцатиугольника;

б) на окружности с центром в точке О выбраны точки М и N. Вторая окружность вдвое меньшего радиуса касается первой в точке М и делит пополам отрезок ON. Найдите угол ONM.

Билет № 5

1. Теорема об углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей.

2. Вывод формулы площади треугольника: S = ½ ab ∙ sinC

3. Задача по теме «Правильные многоугольники»:

а) точка F лежит на стороне АВ правильного восьмиугольника ABCDMNPQ так, что AF = 3√2, FB = √2. Найдите расстояние от точки F до прямых, содержащих стороны восьмиугольника;

б) ABCDEF – правильный шестиугольник площади S. Какая фигура образуется в пересечении треугольников ACE и BDF? Найдите ее площадь.