Предел функции Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей.

При вычислении пределов необходимо, прежде всего, в выражение, стоящее под знаком предела, вместо переменной подставить её предельное значение. Возможны два варианта:

1. В результате подстановки и проведения необходимых вычислений получилось определённое число (в частности, ноль) или бесконечность, которое и является ответом.

2. В результате подстановки предельного значения переменной получаются неопределённости видов: .

Для получения результата необходимо раскрыть неопределённость, методы раскрытия неопределённостей рассмотрим на примерах.

Пример 1.

Рассмотрим сначала примеры, в которых нет неопределённых выражений.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Ответ: 1) , 2) 7, 3) , 4) , 5) 0

Рассмотрим примеры раскрытия различных видов неопределенностей.

Неопределённость вида

Пример 2. Найти

Решение. , после подстановки предельного значения получили неопределённость , которую нужно раскрыть. В том случае, когда выражение под знаком предела представляет собой отношение двух многочленов, удобно числитель и знаменатель разложить на множители. Преобразуем данную функцию, разлагая числитель с помощью формулы:

,

где х₁ и х₂ – корни уравнения .

Так как уравнение имеет корни х₁=2 и х₂=4, то . Подставим это выражение в предел:

Ответ:

Пример 3. Найти

Решение. После подстановки предельного значения числитель и знаменатель обращаются в ноль, получается неопределённость вида . Преобразуем данную функцию, разлагая числитель с помощью формулы:

где х₁ и х₂ – корни уравнения .

Разложим числитель и знаменатель на множители

подставим всё в предел, получим:

Ответ:

Пример 4. Найти

Решение: после подстановки предельного значения числитель и знаменатель обращаются в ноль, получается неопределённость вида . Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое числителю.

Ответ:

Неопределённость вида возникает при вычислении пределов отношения двух бесконечно малых величин. Для раскрытия этой неопределённости используется первый, второй замечательные пределы и теорема: предел отношения двух б.м.в. равен пределу отношения эквивалентных им б.м.в., при этом пользуются таблицей эквивалентности.

Пример 5. Найти

Решение. Для вычисления этого предела используем первый замечательный предел, преобразовав функцию:

Ответ:

Пример 6.

Найти а) , б)

Решение. Для вычисления этих пределов воспользуемся таблицей эквивалентности для б.м.в., так как после подстановки предельного значения получим неопределённость .

а)

б)

Ответ: а) , б)

Неопределённость вида

Если в пределе функция представляет собой отношение двух многочленов и при подстановке предельного значения получаем неопределённость , то для раскрытия неопределённости числитель и знаменатель делят на х в большей степени.

Пример 7. Найти а) , б) , в)

Решение.

а)

б)

в)

Ответ: а) , б) , в) 0

Неопределённость вида

Данную неопределённость всегда рационально раскрывать, используя второй замечательный предел.

Пример 8. Найти

Решение. При основание стремится к 1, а показатель степени ( ) стремится к бесконечности. Следовательно, имеем неопределенность вида . Представим основание в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой при величины и применим формулу второго замечательного предела: . Тогда имеем:

.

Пусть Тогда при переменная .

Переходя к переменной у получим:

.

Ответ:

Пример 9. Найти

Решение. При основание стремится к единице, а показатель степени . Положим , где при . Тогда . Выразим основание и показатель степени через , получим

Ответ: