Границя функції

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Metodichka_t_1.docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2025

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Границя функції

Дійсне число називається граничною точкою множини , якщо

Кажуть, що є граничною точкою множини , якщо

Нехай , а . Інтервал називається -околом точки і позначається . Множина

називається проколеним -околом точки .

Надалі будемо припускати, що точка є граничною точкою області визначення функції .

Означення (Коші). Число називають границею функції в точці , якщо

Означення (Гейне). Число називають границею функції в точці , якщо для довільної послідовності , що задовольняє умовам

виконується співвідношення

Позначення: або

Ці означення рівносильні. Означенням границі функції за Гейне зручно користуватись у тому випадку, коли потрібно довести, що функція не має границі в точці. Для цього досить довести, що існують дві послідовності та , які задовольняють умовам означення, але відповідні послідовності значень функції та не мають однакових границь.

Кажуть, що

якщо

та

якщо

Число називають границею функції при , якщо

Позначення:

Число називають границею функції при , якщо

Позначення:

Всі властивості границь послідовностей легко переносяться на границі функцій в точці.

Запишемо дві важливі границі, які часто використовують при обчисленні інших границь функцій:

I. — перша визначна (важлива) границя;

II. — друга визначна (важлива) границя.

Введемо поняття односторонніх границь.

Число називають границею справа функції в точці , якщо

Позначення:

Число називають границею зліва функції в точці , якщо

Позначення:

Для того, щоб , необхідно і достатньо, щоб

Функція називається нескінченно малою (НМ) при (або в точці ), якщо

Функція називається нескінченно великою (НВ) при (або в точці ), якщо

Властивості нескінченно малих функцій:

Сума скінченного числа нескінченно малих є нескінченно малою.
Добуток скінченного числа нескінченно малих є нескінченно малою.
Добуток нескінченно малої функції та обмеженої функції є нескінченно малою.
Якщо функція є нескінченно малою при , але відмінна від нуля в околі точки , то є нескінченно великою в цій точці.

Для того, щоб , необхідно і достатньо, щоб мало місце представлення

де — нескінченно мала функція при .

Якщо і є нескінченно малими при , то при

вони називаються нескінченно малими одного порядку малості при ;
вони називаються еквівалентними нескінченно малими при ;
функція називається нескінченно малою вищого порядку малості при ніж , що позначають ( дорівнює «о мале» від при );
функція називається нескінченно малою нижчого порядку малості при ніж , що позначають при ;
функція має порядок малості відносно при ;
якщо не існує, то нескінченно малі і називаються непорівнюваними при .

Якщо , то функція називається головною частиною нескінченно малої відносно при .

Якщо і є нескінченно великими при , то при

вони називаються нескінченно великими одного порядку росту при ;
функція називається нескінченно великою нижчого порядку росту при ніж ;
функція називається нескінченно великою вищого порядку росту при ніж ;
функція має порядок ростуі відносно при ;
якщо не існує, то нескінченно великі і називаються непорівнюваними при .

Якщо , то функція називається головною частиною нескінченно великої відносно при .

Для того, щоб нескінченно малі і були еквівалентними при , необхідно і достатньо, щоб при .

Границя добутку (відношення) функцій не змінюється, якщо в ньому замінити нескінченно малу на еквівалентну нескінченно малу функцію.

Таблиця еквівалентних нескінченно малих:

при ;

при .

Приклад 1. Довести за означенням, що границя

не існує.

Доведення. Доведемо, що ця функція не задовольняє означенню границі функції за Гейне при . Для цього розглянемо послідовності та , де

Тоді

А оскільки та мають різні границі, то границя

не існує.

Приклад 2. Довести за означенням, що границя

не існує.

Доведення. Розглянемо послідовності та , де

Тоді

А оскільки та мають різні границі, то границя

не існує.

У найпростіших випадках обчислення границі зводиться до підстановки у функцію граничного значення аргумента, наприклад,

Проте часто така підстановка приводить до невизначених виразів, зокрема, таких:

невизначеність типу (відношення двох нескінченно великих величин);
невизначеність типу (відношення двох нескінченно малих величин);
невизначеність типу (добуток нескінченно малої величини на нескінченно велику);
невизначеність типу (різниця двох нескінченно великих величин);
невизначеності типу , , .

Операцію обчислення границі у цих випадках називають розкриттям невизначеності. Розглянемо деякі способи розкриття невизначеності.

Невизначеність типу задана відношенням двох многочленів. Такі невизначеності можна розкривати за правилом:

Приклад 3.Обчислити границі:

а) ;

б) ;

в) .

Розв’язання. Користуючись наведеним вище правилом, легко знаходимо:

а) ;

б) ;

в) .

Відповідь: а) 0; б) ; в) .

Невизначеність типу задана відношенням двох многочленів.

Приклад 4. Обчислити границю .

Розв’язання. Оскільки

, ,

то маємо невизначеність типуу . Щоб її розкрити, розкладемо чисельник і знаменник на множники:

Скорочуючи на , маємо:

Відповідь: .

Множник , через який чисельник і знаменник прямують до нуля, називають критичним множником. Отже, щоб розкрити невизначеність виду , задану відношенням двох многочленів, треба скоротити дріб на критичний множник.

Невизначеність типу задана ірраціональними виразами.

Приклад 5. Обчислити границю .

Розв’язання. Для обчислення границі помножимо й поділимо дріб на вираз, спряжений з чисельником, а потім розкладемо на множники знаменник і чисельник і скоротимо на критичний множник: