2. Основная теорема зацепления.

Рис. 4. Схема передачи движения от звена 1 к звену 2.

Пусть два звена (зубца) 1 и 2 контактируют в точке К (рис.4). Тогда они образуют высшую кинематическую пару, и силы взаимодействия звеньев направлены по нормали N₁N₂ к профилям в точке контакта. Из условия, что зубцы не могут внедриться друг в друга (звенья 1 и 2 – твердые тела) и отстать друг от друга (нарушится контакт), проекция скоростей общей точки на нормаль N₁N₂ должна быть равна

(2)

где - скорость точки К, принадлежащей звену 1;

- скорость точки К, принадлежащей звену 2;

- угол между векторами и ;

- угол между векторами и .

и , как углы, образованные взаимно перпендикулярными сторонами.

Из уравнения (2) получаем

или (3)

Соотношения (3) представляют собой основную теорему зацепления: нормаль к профилям в точке контакта двух звеньев делит межосевое расстояние О₁О₂ на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих звеньев.

Следствия: 1) для постоянства передаточного отношения необходимо, чтобы нормаль к профилям в процессе зацепления зубцов проходила через неподвижную точку на межосевой линии; 2) если задан профиль одного зубца и передаточное отношение, то профиль другого зубца не может быть произвольным, а должен отвечать соотношению (3). Такие профили называют сопряженными.

Условию постоянства передаточного отношения отвечают многие виды зацеплений, например, эвольвентное, циклоидное, Новикова.

1.3. Эвольвента и её свойства.

Самыми распространенными зубчатыми передачами являются эвольвентные, т.е. такие, профили зубьев которых очерчены по кривой, называемой эвольвентой. Широкое применение эвольвентного зацепления объясняется в основном двумя причинами: простотой изготовления и нечувствительностью передаточного отношения к погрешности межосевого расстояния. Кроме того, зуб, очерченный эвольвентами, имеет толщину, увеличивающуюся от головки к ножке, что благоприятно с точки зрения его сопротивления внешнему нагружению.

Эвольвентой называется кривая, геометрическое место центров кривизны которой расположено на другой кривой, называемой эволютой. Если эволюта есть окружность, то она называется основной, а эвольвента – эвольвентой круга.

Эвольвенту описывают точки прямой, катящейся по основной окружности без скольжения (рис.5).

Рис.5. Эвольвента круга.

Поэтому и уравнение эвольвенты имеет вид

где функция читается инволюта угла .

Из определения эвольвенты следуют свойства: 1) нормаль к эвольвенте в любой её точке является касательной к основной окружности; 2) отрезок нормали ВС есть радиус кривизны эвольвенты в точке В; 3) все эвольвенты одной окружности эквидистантны, т.е. находятся на постоянном расстоянии друг от друга: АА₁=ВВ₁, А₁А₂=В₁В₂; 4) эвольвента не имеет точек внутри основной окружности.

1.4. Картина зацепления эвольвентной передачи.

Рис.6. Картина эвольвентного зацепления.

В эвольвентной зубчатой передаче нормаль к профилям в точке их контакта всегда является касательной к основным окружностям колес и проходит через точку Р (рис.6), называемую полюсом зацепления. Отрезок N₁N₂ между точками касания нормали с основными окружностями называется теоретической линией зацепления, а отрезок аb, по которому перемещается точка контакта двух находящихся в зацеплении зубьев, активной линией зацепления или линией зацепления. Точки “a” и “b” находятся как точки пересечения окружностей вершин колес и с линией зацепления N₁N₂ и определяют начало и конец зацепления пары зубьев.

Через полюс зацепления проходят окружности и , называемые начальными, по которым колеса обкатываются без скольжения.

Активный профиль зуба, по которому происходит взаимодействие с профилем зуба парного колеса, ограничен вершиной зуба и точкой f₁ для шестерни или f₂ для колеса. В точке f₁ зуб шестерни вступает в работу, а в точке f₂ зуб колеса выходит из работы.

На рис.6 дополнительно обозначено: - межосевое расстояние; d₁, d₂ – диаметры делительных окружностей; - диаметры основных окружностей; - диаметры окружностей впадин; - угол зацепления; и - дуги зацепления.