3. Падение тел у земной поверхности.

Рассмотрим пример одномерного движения - падение тел у земной поверхности. Простейшее описание такого движения не учитывает внутренней структуры тела, рассматривая его как некий идеализированный объект – материальную точку. Хотя реальные тела точками не являются, для многих реальных задач такое упрощение модели оправдано и дает реальное представление о скоростях, времени падения и т.д. Для описания падения используется второй закон Ньютона, который гласит, что ускорение движущегося тела определяется равнодействующей всех сил, действующих на тело:

.

Этот закон может быть записан в виде дифференциального уравнения второго порядка

,

или в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка, если ввести ускорение :

,

.

Здесь - масса тела, - его скорость, - ускорение, - координата.

Если при падении не учитываются сопротивление воздуха и выталкивающая сила, то единственной действующей на тело силой является сила тяжести, равная , где - ускорение свободного падения. В этом случае уравнение движения имеет аналитическое решение.

Однако зачастую, особенно при падении тел в более плотных, чем воздух, средах эти силы нужно учитывать. Как известно, выталкивающая сила равна весу жидкости, вытесненной телом, поэтому ее учет прост и эквивалентен уменьшению массы тела на величину , где - плотность внешней среды, в которой происходит падение, а - объем тела. Сложнее обстоит дело с силой сопротивления среды, которая, по опытным данным, зависит от скорости тела .

Известны две эмпирические зависимости силы сопротивления от скорости: и , где коэффициенты и зависят от свойств среды и геометрии тела.

Вернемся к падению тел у поверхности Земли, когда выталкивающей силой можно пренебречь вследствие малой плотности воздуха. Равнодействующая сил, действующих на тело, в этом случае равна

.

Поскольку сила сопротивления возрастает с ростом скорости, то в процессе движения осуществляется некоторое значение скорости , при котором , что соответствует нулевому ускорению и, следовательно, установившейся скорости, с которой дальше продолжается падение. Эта скорость называется предельной скоростью, и она является константой для рассматриваемой задачи. Если известна зависимость , предельная скорость легко вычисляется, и ее можно использовать вместо констант и в уравнениях движения.

Допустим для определенности, что нам известна зависимость силы сопротивления от скорости в виде: . Тогда суммарная действующая на тело сила равна

,

и

. (4)

Представим математическую модель задачи в виде системы двух уравнений 1-го

порядка:

, (5)

. (6)

Начальные условия: , (при соответствующем выборе системы координат). Следуя методу Эйлера, заменяем дифференциальные выражения в уравнениях (5) и (6) их разностными аналогами (с учетом выражения (4) для ускорения):

,

.

откуда

, (7)

. (8)

Для решения системы (7), (8) два начальных условия у нас имеются.

Шаг по времени нужно выбирать достаточно малым, чтобы замена дифференциального выражения его разностным аналогом не привела к большой погрешности. Оценить погрешность метода можно, если применить полученный алгоритм к задаче, в которой сопротивлением воздуха можно пренебречь, т. е. имеется аналитическое решение.